A Nicolaus II, Goldbach lo conoció en Venecia en1721. En este encuentro y en la intensa correspondencia que mantuvieron durante un año, hasta la prematura muerte de Nicolaus, discutieron sobre temas relacionados con el nuevo cálculo de los diferenciales. Fue Nicolaus II quien recomendó a Goldbach que escribiera a su hermano Daniel, quien se interesaba tanto por los temas teóricos de las Matemáticas, como por sus aplicaciones. El intercambio epistolar entre Goldbach y Daniel Bernoulli duró más de 8 años y consta de más de 70 cartas. Al principio eran frecuentes los temas de Teoría de Números, pero también intercambiaron ideas sobre diferentes variantes de la ecuación de Riccati, sobre el llamado juego o paradoja de San Petersburgo relacionado con el cálculo de probabilidades y sobre temas de integración de funciones irracionales y sumación de series.

Tras un largo peregrinar por Europa que duró alrededor de 6 años, Goldbach regresa a Prusia en 1724, donde conoció personalmente al matemático Jacob Hermann, discípulo de Jacob Bernoulli, quien se aprestaba a viajar a San Petersburgo, para laborar en la recién creada Academia de Ciencias. Goldbach se entusiasmó con la idea y envió una carta al Presidente de la nueva Academia, preguntando por la posibilidad de contratación. Aunque, por ese entonces no tenía resultados científicos significativos, sí poseía experiencia como consejero del reino de Prusia, a lo que sumaba una vasta cultura adquirida en sus viajes y visitas a los más ilustres sabios de la época. Después de algunas negociaciones fue nombrado Secretario de la Academia, con la obligación de escribir las actas de las reuniones, preparar la edición de las obras y conservar los documentos que se precisaran para llevar la historia de la institución y, junto con el Bibliotecario, se ocuparía de la correspondencia entre los académicos y otros sabios de Europa.

A las gestiones de Goldbach como Secretario de la Academia se debió la contratación de los hermanos Nicolaus y Daniel Bernoulli, el primero para la cátedra de Mecánica y el segundo para la de Fisiología. Al fallecer Nicolaus, Daniel pasó a la cátedra de Mecánica y propuso a su coterráneo y amigo Leonhard Euler para la plaza de Fisiología. Así conoció Goldbach a quien, a pesar de ser 17 años más joven, sería el mejor corresponsal y confidente de su elucubraciones matemáticas. La correspondencia entre Euler y Goldbach duró hasta poco antes de su fallecimiento y consta de casi 200 cartas sobre diferentes temas. En toda esta correspondencia se manifiesta la gran estima que Euler siempre profesó a las opiniones y consejos de Godbach, a quien escogió como padrino de su primogénito.

Durante su estancia en San Petersburgo, Goldbach no solo realizó su trabajo como Secretario de la Academia de Ciencias, sino que pronto se vio inmerso en el torbellino de la alta política rusa de la época. Primero como preceptor del Zar Pedro II, sobrino de Pedro I (el Grande), que contaba con solo 10 años, después como consejero de la emperatriz Anna Ivanovna, también sobrina de Pedro I. Esta labor como consejero de los zares la continuó desarrollando aún cuando retornó a ocuparse de los asuntos de la Academia de Ciencias. Un mérito extraordinario de Goldbach es haber conseguido mantenerse dentro de los confidentes en la corte rusa mientras se sucedieron una tras otras las purgas administrativas y políticas. Cierto es que Goldbach poseía una cultura exquisita, además del alemán dominaba el latín y el francés, y entendía algo de ruso, además de poseer un amplio círculo de amigos influyentes y un indiscutible tacto diplomático. Desde 1742 es aceptado en el colegio de asuntos extranjeros con el rango de Consejero de Estado, realizando funciones que hoy denominaríamos como criptógrafo oficial. Muestra del respeto y el prestigio ganado sea que se le asignó uno de los aposentos del Palacio de Invierno, residencia de los zares rusos, y allí lo encontró la muerte el 1 de diciembre de 1764.

El legado matemático de Goldbach

Por supuesto que si comparamos los aportes matemáticos de Goldbach con los de cualquiera de los grandes sabios de la primera mitad de este siglo, resultan insignificantes. Pero si valoramos con justicia y objetividad sus influencias en el desarrollo de la comprensión de la naturaleza íntima de las matemáticas puras, sus estímulos al desarrollo de las investigaciones a través de sus contactos personales, de su correspondencia, de sus discursos en la Academia; y no centramos el análisis en sus pocas publicaciones originales o en la ausencia de premios obtenidos, sin dudas puede afirmarse que Christian Goldbach fue uno de los más influyentes sabios del siglo XVIII. Su nombre ha quedado prendado en una conjetura de la teoría de números que aún reclama resolución, pero sus más originales ideas son del campo de las sumas infinitas.

En una carta a su amigo Daniel Bernoulli en 1723, Goldbach cuenta cómo comenzó su interés en el tema de la sumación de series. El primo de Daniel, Nicolaus I Bernoulli, le obsequió la tesis que había desarrollado con su tío Jacob sobre el tema de las sumas infinitas. Pero, la tesis de Nicolaus era la quinta y última de las que asesoró Jacob Bernoulli y Goldbach todavía desconocía las cuatro anteriores, por tanto, su ignorancia no le permitió inmediatamente apreciar el arte de calcular que subyacía en la tesis, y la dejó a un lado. Cinco años después lee un artículo de Leibniz “Sobre una relación exacta del círculo con un cuadrado inscrito expresada en números racionales” donde aparecen dos resultados sorprendentes relacionados con sumas infinitas:

1. Una cuadratura aritmética del círculo:¹ .
2. Una cuadratura aritmética de la hipérbola: .

El atractivo de estos resultados lo decidió a aprender lo necesario para apreciar mejor el arte del cálculo. Así Goldbach se dio a la tarea de indagar más sobre las series a través de los trabajos de algunos de sus contemporáneos, muy especialmente en las tesis dirigidas por Jacob Bernoulli. Así aparece la primera publicación de Goldbach en 1720, unas notas con algunas recetas ingenuas para expresar las sumas parciales de una serie, de forma que la estimación de su suma total fuera más expedita. Pero en sus publicaciones Goldbach no hizo ningún aporte prominente al arte de la sumación de series, ni en este primer artículo ni en los dos siguientes que se publicarían en 1729 y 1732. Sus ideas más originales y fructíferas las expuso en su correspondencia con Daniel Bernoulli y, principalmente, con Leonhard Euler. Era como si Goldbach poseyera un talento especial para componer agraciadas melodías de forma tal que sus brillantes corresponsales se sintieran estimulados a elaborarlas y presentarlas en muy diversas variantes.