Fué Goldbach quién motivó a Euler para que se interesara por el famoso problema de Basilea: hallar la suma de la serie

.

Christian Golbach elaboró un original método de aproximación que lo llevó a estimar el valor de S entre 1,64 y 1,66, envió sus ideas por carta a Euler con el reto de mejorarlo. Dos años más tarde Euler hizo pública una asombrosa aproximación de 6 cifras decimales exactas: 1,643934. Y como es sabido, mas tarde encontró el valor exacto en función de la cuadratura del círculo unidad.

Otro ejemplo de la fructífera relación con Euler ha quedado rubricado con el único teorema que enlaza sus nombres y también se refiere a las sumas infinitas. Goldbach conocía una forma de probar la igualdad

y desafió a Euler para que encontrara otra demostración más precisa y concisa. En un extenso y maduro trabajo sobre series, Euler publica la demostración de este hecho y según él mismo reconoce, es la misma demostración que Goldbach le comunicó. Este es el resultado que actualmente se conoce como Teorema de Goldbach-Euler.

La ingenuidad de Goldbach en el tratamiento de las sumas infinitas está acorde con el estilo fresco y artificioso de la época dorada del arte de sumación. Pero las ideas rudimentarias de Goldbach, corregidas, aumentadas y mejor expresadas por Euler, se pueden considerar como germen de lo que en la encrucijada de los siglos XIX y XX se conformaría como “Teoría de los algoritmos de sumación”.

La verdad histórica sobre la enunciación de la conjetura de Goldbach

En 1742 Euler se había trasladado a Berlín y Goldbach le escribe a su amigo sobre nuevas proposiciones que ha concebido relacionadas con los números primos:

[…] quisiera aventurar una conjetura: todo número que esté formado por dos números primos es una suma de tantos números primos como se desee (contando entre ellos a las unidades), hasta alcanzar solo unidades.

Pero su especulación no se detiene allí. Al leer lo ya escrito reconoce que pudiera mejorar su conjetura y escribe al margen:

[...] Al volver a leer esto encuentro que esta conjetura se pudiera demostrar con sumo rigor en el caso n+1, si se cumple en el caso n y n+1 se divide en dos números primos. La demostración es muy sencilla. Parece ser al menos que todo número de ese tipo que sea mayor que 1 es suma de tres números primos.

En esencia, Goldbach indica cómo demostrar, mediante el método que hoy denominamos de inducción matemática, la siguiente tesis:

Luego, el problema se reduce a determinar cuáles números se pueden representar como suma de dos números primos.

Euler envía como respuesta a Goldbach la consideración siguiente:

Que un número que sea resoluble en dos números primos, se puede descomponer a la vez en tantos números primos como se quiera, puede ser ilustrado y confirmado a partir de una observación que su excelencia me había comunicado anteriormente, que todo número par es una suma de dos números primos. Puesto que el número propuesto n es par, entonces n es una suma de dos números primos y como n-2 también es una suma de dos números primos, entonces n es una suma de tres, y también de cuatro, etc. Si n es un número impar entonces él es una suma de tres números primos, porque n-1 es una suma de dos y por tanto se puede resolver varias partes.

Entonces Euler añade:

Pero el que todo número par sea una suma de dos primos lo considero un teorema, a pesar de que no puedo demostrarlo…

Sin dudas Euler aplicó su gran ingenio para tratar de demostrar lo que el considera un teorema:

Pero ni la perspicacia de Euler ni la de todos los matemáticos que por más de 260 años han dedicado sus esfuerzos a la prueba o refutación de esta afirmación han tenido éxito. Esta conjetura se conoce en la actualidad con el nombre de Conjetura Binaria o Fuerte de Goldbach.

A partir de la veracidad de la Conjetura Fuerte de Goldbach, resulta sencillo deducir la llamada Conjetura Débil o Ternaria de Goldbach que se acerca más a lo planteado por Goldbach en su carta a Euler y se expresa en la forma actual:

La demostración de esta afirmación a partir de la validez de la Conjetura Fuerte de Goldbach es muy sencilla, pues si n es un número impar mayor que 3, entonces se cumple que n=3+m, al considerar a m un número par mayor que 2, el cual, a su vez, según la Conjetura Fuerte de Goldbach, es la suma de dos números primos m=p+q. Luego, n=3+p+q.

Aunque la Conjetura Débil de Goldbach se deduce directamente de la Conjetura Fuerte, también se han dedicado grandes esfuerzos a demostrarla directamente. En los años 30 del siglo pasado se avanzó considerablemente en el acercamiento a una demostración al probarse que existe un número entero bien determinado C de modo que todo número natural n puede ser escrito como suma de no más de C números primos, es decir, n=p₁+p₂+...+p_m, tales que p_i es primo (i=1,...,m)  y m ≤ C. Más adelante se logró probar que C ≤ 300000. La cota para esta constante C se ha logrado disminuir de forma sucesiva, así en los años 70 se logra probar que C ≤ 169 y, en esa misma década, se reduce sucesivamente hasta obtener que C ≤ 26. La mejor cota superior encontrada hasta el momento es 6. Sin dudas, con esto nos vamos acercando a la conjetura de Goldbach.

Con el avance vertiginoso de la computación es de esperar que la brecha entre los valores comprobados de la conjetura y los aún dudosos se continúe reduciendo. La gran dificultad no consiste en el desarrollo de algoritmos eficientes para la determinación de las descomposiciones de un número dado en suma de dos números primos, sino, precisamente, en la poca eficiencia que tienen las pruebas para determinar cuando un número es primo.

Como el propio Christian Goldbach reconociera, “aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración” son sumamente útiles, “pues aún cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad”.