3.1. Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes

La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma. Por eso se la conoce con el nombre de espiral uniforme.

La naturaleza no es muy pródiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral, aunque la podemos reconocer en esta serpiente enrollada o en la trompa de una mariposa. No es extraño esta extraña lengua se llame espiritrompa.

El hecho de que sea la espiral más sencilla de construir hace que aparezca como motivo ornamental desde las épocas más remotas. La encontramos ya en túmulos mortuorios de la edad del bronce y en vasijas griegas y etruscas....

La encontramos, en la cerámica popular, como motivo decorativo de muchos platos. Esto no es tan extraño si pensamos la extrema facilidad con la que se puede dibujar sobre el torno del alfarero. Basta con ir desplazando el pincel en una dirección determinada, desde el centro hacia el borde, con una velocidad constante.

Se la conoce entre los matemáticos como Espiral de Arquímedes, ya que fue este notable físico y matemático griego el primero que, fascinado por su belleza, realizó un estudio profundo sobre las propiedades matemáticas de esta curva...en el siglo III antes de Cristo en un escrito titulado Sobre las espirales.

Matemáticamente la espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre uno de sus extremos.

En palabras del propio Arquímedes:

"Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo, manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral"

Es decir, es una curva mecánica. Para definirla necesitamos recurrir al movimiento. Es de hecho la primera curva mecánica de la historia.

Su ecuación en coordenadas polares es r = aθ donde r es la distancia al origen, a una constante y θ (theta) es el ángulo girado.

¡¡ Eureka !!. ¡¡ Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo !!.
Su famoso principio sobre los cuerpos sumergidos en un líquido:

"Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido desalojado".

Son frases de Arquímedes y decididamente sus frases han pasado a la historia.

La historia de su muerte a manos de un soldado romano en la toma de su ciudad natal, Siracusa, por la flota de Marcelo y la frase que calmadamente le dirigió justo antes de ser atravesado por su espada mientras dibujaba en la arena. ¿Quizás una de sus espirales?, "no molestes a mis círculos" hacen de Arquímedes uno de los sabios más populares de la historia.

Arquímedes se interesó por esta espiral al intentar resolver un problema clásico: la trisección de un ángulo, utilizando solamente regla y compás. . Aunque hoy sabemos que es un problema irresoluble utilizando sólo una regla y un compás, Arquimedes encontró una forma de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando la espiral uniforme.

Basta hacer coincidir el vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral.

Si unimos el origen con esos puntos de corte tendremos los tres ángulos que dividen al original en tres partes iguales. Por desgracia para las matemáticas la espiral uniforme no se puede dibujar con regla y compás.

Menos conocidos, pero más sorprendentes para los matemáticos, son sus resultados sobre la espiral uniforme, recogidos en su libro "Sobre las espirales", en el que entre sus 28 proposiciones varias se refieren a las áreas de las espirales. Resultados tan complejos como estos:

"El área barrida por el radio de la espiral en su primera revolución es la tercera parte del área del círculo cuyo radio es el radio final de esta revolución..."

"El área barrida por el radio en la segunda vuelta es 6 veces el área de la primera vuelta"

"El área barrida en la segunda revolución está en razón 7/12 con el círculo cuyo radio es la posición final del radio vector"

Nos reconforta pensar que al igual que cada barco que cruza los mares rinde un homenaje a Arquímedes el físico por su principio, que cada vez que utilizamos una barra rígida para levantar un gran peso le damos las gracias por sus leyes de la palanca, cada vez que un niño hace un rollo de plastelina y lo envuelve sobre sí mismo y lo hace girar está realizando un sencillo pero a la vez hermoso homenaje a Arquímedes el matemático.