La Matemática alemana en el siglo XIX

La matemática a principios del siglo XIX era una disciplina muy respetada por su condición de “verdadera” y exacta. Francia, y en particular París, era el centro neurálgico de su desarrollo, que tenía en Cauchy a su máximo representante. En Götinga, Gauss, la gran figura de la matemática alemana de la primera mitad del siglo XIX, propició la impresionante eclosión de la matemática alemana de la segunda mitad del siglo, base de toda la matemática actual.

Crecida impetuosamente durante el siglo XVIII, la matemática era un gigante con los pies de barro. El uso de cantidades infinitesimales que se desvanecían, auténticos “fantasmas” denunciados por Berkeley a mitad del siglo XVIII, iba poco a poco repugnando a la sensibilidad y buen criterio de los matemáticos. El concepto de límite iba perfilándose paulatinamente hasta asumir con Weierstrass y su notación (ε-δ) la formulación de todos hoy conocida.

La matemática, al igual que las otras ciencias, tiende a independizarse en ese proceso de especialización que va a dominar todo el siglo. Concretamente, la matemática tenderá a sacudirse el yugo de lo “real”, e irrumpirá lo “abstracto”, al igual que en las artes plásticas, dando curso libre a la creatividad.

Después de dos mil años de diversos intentos de demostrar el famoso quinto postulado de Euclides a partir de los cuatro primeros, se empezaba a sospechar de su independencia con respecto a ellos. Pero era tan duro para la intuición aceptar lo contingente e hipotético de la geometría euclídea, que Gauss no llegó a publicar sus resultados sobre geometrías no euclídeas. Habrá que esperar al segundo tercio del siglo para que la comunidad matemática contemple incrédula las investigaciones, entre otros, del gran matemático alemán Riemann. Hoy día, una variedad riemanniana es un espacio n-dimensional, cuya geometría intrínseca está determinada por una forma cuadrática que nos proporciona el cambio infinitesimal en la distancia ds. Einstein pudo aplicar las ideas de Riemann al continuo 4-dimensional del espacio-tiempo de su Teoría de la Relatividad.

El otro gran tema pendiente era el de la estructura matemática del continuo, del número real. Dedekind, con un procedimiento similar al empleado por el matemático griego Eudoxo, “inventó” el número real y le otorgó un riguroso certificado de existencia. Estrechamente relacionado con ello está el concepto de función de variable real, verdadero paradigma de la matemática en la era moderna. Justamente, mientras estudiaba ciertos dominios de funciones reales, esto es, ciertos subconjuntos de números reales, Cantor iba a interesarse por la comparación de conjuntos infinitos. Él habría de crear, durante el último cuarto de siglo, con la teoría de conjuntos y sus números transfinitos, un lenguaje matemático que insertaba rigurosamente el infinito en una totalidad actual y estática.

La teoría de conjuntos cantoriana conmocionó el mundo de los matemáticos. Sus representantes se dividían entre los que, como Kronecker, rechazaban de plano la reaparición del infinito actual y la existencia de entes matemáticos que no se pudieran construir en un número finito pasos, y quienes, como Hilbert, saludaron la nueva, original y rigurosa forma de tratar con el infinito matemático y veían abrirse con ella las matemáticas a un paraíso de posibilidades.