2. OBRA

La lista de aportaciones matemáticas importantes realizadas por Wiener es extensa y su temática es variada. En la siguiente tabla reflejamos aquellas que consideramos de mayor relevancia:

Aportaciones matemáticas más relevantes de N. Wiener.

• Movimiento Browniano. Introducción de los procesos estocásticos, precursor de la teoría de la probabilidad en espacios de dimensión infinita.
• Fundamento matemático para el cálculo operacional de Heaviside.
• Definición de los espacios de Banach (originalmente denominados espaclOS de Banach- Wiener).
• Teoría del Potencial -solución del Problema de Zaremba.
• Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. Nueva demostración del teorema del número primo.
• Definición de la transformada de Fourier .
• Filtrado y teoría de la predicción
• Memorandum sobre la construcción de un ordenador digital (1940)
• Cibernética
• Caos homogéneo
• Entropía, teoría ergódica, filtros no lineales, etc.

http://www.21stcenturywiener.org/

Evidentemente, en una reseña biográfica breve como la presente, no se pueden abordar una a una y en detalle todas las temáticas contenidas en la lista anterior. Es por ello que hemos optado, para dar una idea más precisa del tipo de trabajo que realizó nuestro personaje, por desarrollar sólo algunos de los items anteriores. Concretamente, en esta nota nos concentramos en el trabajo de Wiener relacionado con el análisis de Fourier. Un tratamiento detallado de toda la obra científica de Wiener, se puede encontrar en las monografías [4], [22]. Nosotros vamos a seguir aquí, en gran medida, los capítulos 3 y 4 de [4] y el artículo [5].

2.1. Un paseo desde el cálculo operacional de Heaviside hasta las distribu­ciones, utilizando técnicas de análisis de Fourier. Desde el momento en que Wiener llegó al MIT, se asumió que él podría ser la persona que ayudaría a la gente del depar­tamento de ingeniería eléctrica a proporcionar un fundamento sólido a las diversas her­ramientas matemáticas que ellos usaban para sus propias investigaciones. Concretamente, la tarea más urgente que se le asignó fue el establecimiento de un fundamento matemático sólido para el cálculo operacional de Heaviside (HOC, en todo este artículo). Esta cuestión le fue propuesta por Jackson -que era el director del departamento en 1920 y quien había sido un amigo de Wiener durante su infancia. La idea principal del HOC es tratar al operador diferencial p = d/dt como un objeto algebraico incluido en un cuerpo (desconocido) e identificar su inverso algebraico q = p^-1 con el operador integral q{f}(x) =  f(t)dt. Con estas hipótesis, el HOC sería útil para la resolución de numerosas ecuaciones difer­enciales mediante el procedimiento de trasladar el problema diferencial en un problema meramente algebraico.

Veamos, para entender cómo funciona la técnica que acabamos de describir, cómo se aplica este método a un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos resolver un circuito RC, el cual queda descrito por la ecuación diferencial ordinaria RCy'(t) + y(t) = x(t), donde R, C son constantes -la resistencia y la conductancia del circuito-, y x(t) = i(t)u(t) es la diferencia de potencial introducida en el sistema. Aquí u(t) representa la función de Heaviside, que vale 0 para t ≤ 0 y 1 para t > 0. Finalmente, y(t) es la salida del sistema.

Consideremos el caso especial dado por x(t) = Eu(t), donde E es una constante dada. Este es un ejemplo importante, pues modeliza el problema de introducir en el instante t = 0 una diferencia de potencial constante E en el sistema, y ver cuál es la respuesta del mismo. Si queremos usar, para resolver este problema, las técnicas del HOC, operamos del siguiente modo: comenzamos escribiendo el problema como (RCp + l)y(t) = x(t), de modo que y(t) = x(t). A continuación, desarrollamos el cociente como serie de potencias de q = 1/p,

(1)      

Por último, utilizamos que para k = 1,2, ... , de modo que

que es la solución exacta de la ecuación.

Claro que hay varios pasos en la argumentación anterior que no tienen un sustento riguroso. Por ejemplo, no sabemos qué pueda significar q = 1/p y tampoco está claro en qué sentido converge la serie de potencias dada por (1). Por tanto, deberíamos preguntamos cuál es la razón por la que, sin embargo, este método nos proporciona una respuesta correcta.

A Wiener le pidieron que encontrase una explicación del HOC que fuese satisfactoria desde un punto de vista matemático. En su artículo de 1926 [30], Wiener describía esta cuestión del siguiente modo:

El problema de obtener una interpretación rigurosa del cálculo operacional de Heaviside (...) está aún abierto. Existen varios caminos que parecen llevar  a este objetivo. Junto con la teoría de núcleos permutables de Volterra y la teoría de transformaciones de Pincherle, la transformada de Laplace y la integral de Fourier parecen ser herramientas prometedoras. Sin embargo, al igual que la teoría de Pincherle, la teoría de la transformada de Laplace es aplicable directamente sólo a las funciones analíticas. La integral de Fourier, que puede tratarse como derivada de una forma compleja de la tmnsformada de Laplace, no está sujeta a esta objeción. Por otra parte, las funciones a las que se puede aplicar- la forma clásica de la integral de Fourier, están sujetas a restricciones muy severas en su comportamiento en el infinito.

Wiener estaba convencido de que un uso adecuado del análisis de Fourier proporcionaría una solución al problema. La razón fundamental que le conducía a esta conclusión es que el HOC hace un uso extensivo de los operadores de la forma , donde es una serie de potencias, y éstos satisfacen el siguiente resultado técnico:

Lema 2.1. Sean g(t) = e^iwt y f(t) = e^iαt. Entonces L = g() satisface la fórmula:

L(f) = f(iw) f(t) = g(iα) f(t)

Demostración. Por definición, , de modo que

lo que concluye la prueba.

Wiener explicaba en su artículo la importancia de esta propiedad del siguiente modo:

Cuando se aplica a la función e^nit, el operador f(d/dt) es equivalente al multiplicador. El resultado de aplicar un operador dado a una integral de Fourier-dada puede ser, por tanto, concebido de manera natuml como la multiplicación de cada término de la forma e^nit en la integral por un multiplicador que solamente depende de n. Esto es, el operador d/dt no tiene una localización particular en el dominio complejo sino que recorre hacia arriba y abajo todo el eje imaginario. Así pues, resulta demasiado ambicioso pensar que, en general, cualquier desarrollo en serie u otra representación analítica arbitraria de f tendrá el efecto de que f(d/dt) converge al ser aplicado a una función arbitraria.

En este artículo se adopta la estrategia de disectar una función en un número finito o infinito de rangos de frecuencia y aplicar en cada rango la expansión concreta del operador que produzca resultados convergentes sobre ese rango.

Es gracias a este método de disección que las series asintóticas de Heaviside son justificadas.

Las ideas que acabamos de mostrar fueron fundamentales para que Wiener se lanzase a la creación de un nuevo análisis de Fourier, al que bautizaría como "análisis de Fourier generalizado" (GHA en lo sucesivo), que sería aplicable a funciones muy generales. En particular, se trataba de construir un proceso de análisis-síntesis de funciones aperiódicas que no decaen en el infinito. Una motivación muy poderosa para el estudio de esta cuestión radicaba en el hecho de que este tipo de funciones, para las que el análisis armónico clásico no es aplicable, aparecen en numerosos contextos de la física.

Las dos teorías del análisis armónico, formadas por las series de Fourier clásicas y la teoría de Plancherel, no abarcan todas las posibilidades del análisis armónico. Las series de Fourier se restrin­gen a la clase muy especial de las funciones periódicas, mientras que la teoría de Plancherel se restringe a estudiar funciones que son de cuadrado sumable y, por tanto, tienden en media a cero cuando su argumento tiende a infinito. Ninguna de estas teorías es apropiada para el tratamiento de un rayo de luz blanca, que se supone perdura por un tiempo ilimitado. Sin embargo, los físicos que se enfrentaron por primera vez al pmblema de descomponer la luz blanca en sus componentes se vieron forzados a utilizar una u otra de estas herramientas ...

En su artículo de 1926 Wiener también inició el estudio de los operadores entre espacios de funciones, ya que éstos eran una herramienta básica para el HOC. En particular, intro­dujo el concepto de operador causal (o, con la terminología original, operador retrospec­tivo), lo cual le permitió la demostración de varios resultados interesantes. El operador L se dice "causal" si y solo si para todo número real t se tiene que, si en­tonces L(f)(t) = L(g)(t). Estos operadores son muy importantes en la ingeniería, porque modelan los sistemas que son realizables en tiempo real y, con una mínima variación, sirven para describir todos los sistemas lineales que son físicamente realizables. Wiener los investigó con insistencia en las décadas de 1920 y 1930 y, finalmente, demostró algunos resultados fundamentales sobre ellos. En particular, demostró, con la ayuda de su alumno de doctorado Lee [18] que todo sistema físicamente realizable es, de hecho, realizable en el metal. Esto significa que fueron capaces de construir una red eléctrica, posteriormente bautizada con el nombre de "red de Lee- Wiener", que aproxima el comportamiento de cualquier operador físicamente realizable con precisión arbitraria. Es más, Wiener y Lee crearon una patente para los derechos de explotación de esta red en Estados Unidos y luego se la vendieron a la compañía telefónica AT&T [35]. Creían que la AT&T usaría su invento y les daría fama, por lo que acordaron un precio muy a la baja. Sin embargo, la compañía sólo quería disponer de la patente para guardarla en un cajón y, de ese modo, evitar que otros pudieran utilizar la red de Lee-Wiener en sus inventos, lo cual suprimía la posibilidad de una verdadera competencia. Wiener se sintió terriblemente frustrado por estos hechos, lo cual le llevó a odiar amargamente a la AT&T, a arremeter contra ellos en su libro "Inventar" e incluso a escribir una novela -que intentó que se llevara al cine, pero no lo logró- que tituló "El tentador" y en la que se denunciaban este tipo de acciones por parte de las grandes compañías. Otro resultado muy importante que consiguió demostrar, con la ayuda del matemático inglés Paley, es la caracterización matemática, en el dominio de la frecuencia, de los operadores físicamente realizables, como los operadores de la forma L(X)(ξ) = X(ξ)H(ξ) para los que H(ξ) ∈ L²() y

Evidentemente, este resultado es de enorme profundidad. Wiener estaba tan orgulloso de haberlo probado que lo mencionó de forma reiterada en sus escritos matemáticos y biográficos. Por ejemplo, en [33, p. 37] afirmaba:

Este resultado es parte fundamental para la teoría de filtros. Establece que, en todo circuito eléctrico, sea cual sea éste, la atenuación, tornada como función de la frecuencia w y dividida por 1+w², define una función de la frecuencia que es absolutamente integmble. Esto es consecuencia del hecho de que la atenuación es el logaritmo del valor absoluto de la transformada de Fourier- de la respuesta al im­pulso unidad f(t), la cual se anula para valores negativos de t; o, en otras palabras, porque ninguna red eléctrica puede predecir- estrictamente el futuro. Así pues, ningún filtro físicamente realizable puede tener­ una atenuación infinita en una banda finita de frecuencias. El filtro perfecto es físicamente irrealizable por su propia naturaleza, no simplemente por lo inapropiado de los medios que tenemos a nuestra dis­posición. Ningún instrumento que actúe solamente sobre el pasado posee una capacidad de discriminación lo suficientemente fina como para separar una frecuencia de otra con absoluta precisión.

Y, en su autobiografía, cuando hablaba de sus investigaciones con Payley [31, p. 168], afirmaba:

Un problema interesante que atacamos conjuntamente fue establecer las condiciones precisas que res­tringen a la transformada de Fourier de una función que se anula sobre una semirecta. Este es, por sus propios méritos, un problema matemático profundo, y Paley se enfrentó a él con vigor. Pero lo que fue una ayuda para mí, aunque no resultó útil para Paley fue que se trata, esencialmente, de un problema en ingeniería eléctrica. Se sabía desde hacía muchos años que existe una cierta limitación sobre la precisión con la que un filtro de ondas eléctrico puede eliminar una determinada banda de frecuencias, aunque los físicos y los ingenieros no estaban al tanto de la base matemática profunda que existe tras esta limitación. Al resolver lo que para Paley no era más que un hermoso y difícil problema de ajedrez, completamente autocontenido, yo mostré al mismo tiempo que las limitaciones bajo las cuales estaban trabajando los ingenieros eléctricos son precisamente aquellas que imviden al futuro tener algún tipo de influencia sobre el pasado.

Como la motivación fundamental del cálculo operacional de Heaviside era su uso para la resolución de algunos problemas de la física o la ingeniería, Wiener decidió utilizar su método para resolver la que entonces se consideraba la ecuación más importante de la ingeniería eléctrica: la ecuación del telégrafo. Ésta se escribe como sigue:

v_xx = RCv_t + LCv_tt; v(x, 0) = 0, v(0, t) = f(t).

Aquí, v(x, t) representa el voltaje en un punto de un cable que se encuentra a distancia x del origen (el punto donde se introduce el voltaje) y en el instante de tiempo t. Así, f(t) = v(0, t) representa el voltaje que se introduce en un extremo del cable (el origen) en el instante de tiempo t y nosotros estamos interesados en conocer la cantidad v(L, t), donde L representa la longitud del cable.

Fijémonos un poco más detenidamente en esta ecuación. Evidentemente, la entrada f(t) de un mensaje telegráfico estándar es una función discontinua, por lo que podemos asumir, en principio, que v(0,·) es discontinua. Entonces, ¿qué significado podemos dar a las derivadas que aparecen en la ecuación del telégrafo? Sobre esta cuestión Wiener se pronunció del siguiente modo:

(...) existen casos en los que v debe ser tratada como una solución de nuestra ecuación diferencial en un sentido general aún cuando ésta no posea derivadas de todos órdenes que aparecen indicadas en la ecuación y, de hecho, aún cuando ésta no sea diferenciable de ningún orden. Es una cuestión interesante el precisar el modo en el que una función no diferenciable pueda satisfacer, en un sentido generalizado, una ecuación diferencial.

Evidentemente, el problema de proporcionar un concepto de solución para las ecuaciones diferenciales que permita tratar como soluciones de las mismas a funciones que en realidad no son derivables, era. ya un problema viejo. Piénsese por ejemplo, que podemos introducir como condición inicial para el problema de la cuerda vibrante, un pulso triangular. Estos problemas están modelados por ecuaciones diferenciales, pero admiten como condiciones iniciales funciones no derivables y, sin embargo, siempre tienen una solución física. He ahí la enorme motivación que existía, mucho antes incluso de la aparición en escena de Wiener, para resolver el problema que estamos discutiendo. Wiener, de hecho, fue capaz de proporcionar la idea apropiada para resolver estas ecuaciones "en un sentido general":

"(...) Sea G(x, y) una función positiva e infinitamente diferenciable dentro de una cierta región polig­onal acotada R del plano XY, con la propiedad de que ella y todas sus derivadas se anulan en la periferia de ∂R y que vale identicamente cero en el exterior de R. Entonces existe una función G₁(x, y) tal que

para toda función u con derivadas acotadas sumables de los primeros dos órdenes, como puede demostrarse integrando por partes. Así pues, una condición necesaria y suficiente para que u verifique la ecuación diferencial Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = 0 en casi todo punto es que

para toda función G₁(x, y) (pues las funciones G forman un sistema completo sobre cualquier región), y que posea las derivadas requeridas. Podemos, por tanto, tratar las funciones que son ortogonales a todas las funciones G₁ como soluciones de la ecuación diferencial en un sentido generalizado."

Así, el artículo de 1926 fue también importante porque en él Wiener introdujo un con­cepto de "solución generalizada" de una ecuación en derivadas parciales que, en términos modernos, es exactamente el mismo que el concepto de "solución débil" pma estas ccua­ciones, Podemos, pues, afirmar que Wiener introdujo las distribuciones (en el sentido de Schwartz) ¡con dos décadas de antelación! No hace falta añadir que Wiener demostró que la solución que él obtenía para la ecuación del telégrafo en base al uso de su versión depurada del cálculo operacional de Heaviside, era de hecho una solución generalizada (o solución débil, con la terminología actual) de dicha ecuación.