2.2. Análisis armónico generalizado y teoremas Tauberianos. El éxito obtenido con su trabajo en el cálculo operacional de Heaviside, así como el estudio de algunos fenómenos físicos, como la luz blanca, supusieron una fuerte motivación para que Wiener se lanzara a lo que entonces parecía una empresa imposible: ampliar el abanico de funciones a las que es posible aplicar el análisis armónico. En particular, introdujo el conjunto S de las funciones f: → que son medibles en el sentido de Lebesgue y cuya función de covarianza,

está bien definida para todo t ∈ y, además, satisface que Φ ∈ C().

Este conjunto de funciones, que desde entonces se ha bautizado como la clase de Wiener, es lo suficientemente amplio como para abarcar el estudio de todos los procesos físicos y los contextos matemáticos en los que Wiener estaba interesado. En particular, permite el estudio de la luz blanca, la clase de Bohr-Besicovitch de funciones casi-periódicas, y las funciones muestrales asociadas a numerosos procesos estocásticos (incluyendo el movimiento Browniano idealizado, o proceso de Wiener).

Desde una perspectiva meramente matemática, las funciones de covarianza son intere­santes porque, cuando las calculamos a partir de un polinomio trigonométrico f(t) = , obtenemos que

lo que se interpreta afirmando que la función de covarianza Φ(t) preserva la información de f(t) relativa a la amplitud de su espectro, aunque elimina todo lo relacionado con las fases. En particular, conserva la información relativa a la energía de la señal f(t). La función de covarianza posee numerosas propiedades que son interesantes. Por ejemplo, satisface la desigualdad , lo cual implica que Φ(t) es continua en el origen si y solo si es continua en todo punto de la recta real, pues Φ(0) es un número real. Además, se puede interpretar como la potencia de la señal f(t).

Wiener observó que si se intenta identificar qué parte de la potencia de f(t) se encuentra concentrada entre las frecuencias -A y A y se toma el límite A → +∞, sucede que éste coincide con lim_ε→0 Φ(ε) y posee un valor menor o igual que Φ(0). En consecuencia, Wiener restringió su atención a aquellas funciones cuya covarianza asociada es una función continua, pues las otras funciones necesitarían, para una descripción basada en técnicas del análisis armónico, del uso de ciertas "frecuencias ocultas", lo cual es algo evidentemente desagradable. Para introducir su análisis armónico, Wiener necesitaba definir un concepto de espectro que fuese aplicable a la clase S y construir una transformada que enviase los elementos de S a su espectro. Además, esta transformada debía ser necesariamente invertible y preservar la energía de las señales. Un primer paso, para la construcción de su transformada, fue la demostración de que los elementos de la clase de Wiener satisfacen la desigualdad , la cual garantiza que, desde el punto de vista de la norma energía, existe el siguiente límite:

La función W(f) que acabamos de definir resultó de enorme importancia, pues se pudo demostrar que si f(t) es una señal de energía finita y F(ξ) es su transformada de Fourier, entonces W(f) es una primitiva de F(ξ). Además, Wiener también demostró que

(este límite se toma nuevamente en el sentido de la norma energía) y, como consecuencia, existe una función Λ(ξ) que es monótona decreciente, no negativa, de variación acotada y satisface la fórmula . Lo que es más, Λ(ξ) se puede recuperar a partir de la función de covarianza gracias a la expresión

Por último, si imponemos que lim_ξ→-∞ Λ(ξ) = 0 entonces Λ(ξ) representa la potencia total incluida en el espectro de la señal f(t) para las frecuencias que se encuentran entre -∞ y ξ. Wiener denominó a la función Λ(ξ) el espectro integrado o periodograma f(t). El espectro integrado puede adoptar formas variadas, incluyendo los casos de espectro discreto, continuo y mixto, y Wiener se dedicó de forma muy intensa al estudio de cada uno de estos casos.

Es importante observar que todos los resultados que hemos enunciado aquí sobre el espectro integrado fueron restablecidos en los años setenta del siglo pasado por Benedetto [7], en términos distribucionales. De hecho, un buen resumen de ellos descansa sobre la afirmación de que la transformada de Wiener W(f) está bien definida para toda función f(t) que satisface la desigualdad , y, además, satisface que

W(f)' = (f),

donde tanto la transformada de Fourier (f), como la derivada W(f)', como la igualdad en la fórmula anterior, se toman en sentido distribucional.

Para poder completar su teoría y, además, estar en disposición de atribuirle las cuali­dades de un "análisis armónico", Wiener necesitaba demostrar un resultado que pudiera clasificarse como análogo al conocido teorema de Plancherel. Este objetivo fue, en re­alidad, el más duro de obtener. De hecho, aunque ya en 1926 Wiener disponía de una formulación precisa para su resultado, el cual afirma que la fórmula

se satisface para toda función f(t) de la clase de Wiener S, la demostración del teorema se resistió durante años, porque pasaba por probar que si 9 is una función positiva, entonces

(2)               

un hecho nada fácil de demostrar. En efecto, Wiener necesitó tirar de una gran cantidad de tiempo e imaginación para lograr una prueba rigurosa de la identidad anterior. Fue precisamente la necesidad de probar esta fórmula lo que le llevó al estudio de los llamados teoremas Tauberianos. Hardy y Littlewood habían demostrado una buena colección de resultados de este tipo, en los que se estudia el comportamiento asintótico, para y → 0⁺, de numerosas integrales del tipo . Para estudiar estas integrales, Wiener tuvo la idea de realizar el cambio de variables x = e^-s, y = e^-t, y utilizar las nuevas funciones f(u) = Φ(e^u), g(u) = e^-uφ(e^-u ), lo cual provoca el siguiente conjunto de igualdades:

Así pues, via este sencillo cambio de variables, Wiener transformó el estudio de los teo­remas Tauberianos de Hardy y Littlewood en el estudio del límite lim_t→+∞(g*f)(t), que es un problema sobre convoluciones o (como le gustaba a Wiener llamarlas) filtros de ondas. En pocas palabras, Wiener se llevó el problema original a su propio terreno (el estudio de la transformada de Fourier, los filtros de ondas, etc.), transformándolo en el siguiente interesante problema: dado un filtro de ondas L(f) = g * f (i.e., dado el único filtro de ondas cuya respuesta al impulso unidad está dada por g(t)), ¿para qué entradas f(t) podemos garantizar que la salida y(t) = L(f)(t) posee un límite bien definido cuando t→+∞? Además, demostró el siguiente resultado:

Teorema 2.1 (Gran Teorema Tauberiano de Wiener). Supongamos que f ∈ L^∞() y g ∈ L¹(). Si existe una función g₀ ∈ L¹() tal que su transformada de Fourier G₀ = (g₀) satisface G₀(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ y existe el límite

(3)         

entonces el límite lim_t→∞(g*f)(t) también existe y, además, satisface (con la misma constante A) la igualdad

(4)       

Además, si la función g₀(t) satisface y para todo par de funciones f ∈ L^∞(), g ∈ L¹() se tiene que (3) implica (4), entonces la transformada de Fourier de g₀ satisface (g₀)(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ .

Wiener demostró, además, una versión del teorema anterior adaptada al uso de convolu­ciones contra medidas, , donde se ha sustituido la función f(t) por una medida η definida en toda la recta real. Es precisamente el uso de estas medidas lo que hace posible establecer un puente entre el problema de estimar integrales impropias y el de estudiar la convergencia (o divergencia) de una serie numérica, que era el verdadero origen de los teoremas Tauberianos.

Evidentemente, la demostración del Gran Teorema Tauberiano de Wiener es una tarea harto complicada. Para abordarla, Wiener tuvo que demostrar una amplia batería de resultados auxiliares, el más importante de los cuales era el siguiente hermoso resultado:

Lema 2.2 (Pequeño teorema Tauberiano de Wiener o Lema de Wiener). Supongamos que f(t) es una función continua y 2π-periódica tal que f(t) ≠ 0 para todo t ∈ , y denotemos por a la sucesión de los coeficientes de Fourier f. Entonces ∈ l¹() si y solo si ∈ l¹()

La prueba original de Wiener de su pequeño teorema Tauberiano fue completamente frontal. Lo que hizo fue, sencillamente, calcular los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de 1/f en términos de los coeficientes de Fourier de f y, a continuación, realizó una serie de estimaciones que le condujeron de forma muy elegante al resultado deseado (tras utilizar varios trucos delicados, incluyendo la multiplicación por cierta función trapezoidal y el uso de particiones de la unidad). Es probable que, debido al método de demostración utilizado, Wiener no tuvo conciencia de que su lema proporcionaba una hermosa caracterización de los elementos invertibles de l¹(), cuando este se interpreta como un álgebra de Banach con la convolución de sucesiones como operación de producto. Este hecho fue resaltado unos años más tarde por el matemático ruso 1. M. Gelfand, y fue el punto de partida pélra que éste creara una nueva rama del análisis funcional: las álgebras de Banach.

Existe aún otro punto de vista desde el cual el Lema de Wiener se puede interpretar como un resultado natural. La idea principal consiste en utilizar el hecho, ampliamente conocido por los que trabajan en análisis armónico y en teoría de aproximación, de que existe una estrecha relación entre la velocidad con la que decae a cero la sucesión de coefi­cientes de Fourier de una función, y su suavidad. Concretamente, cuanto más rápidamente decae a cero la sucesión de coeficientes de Fourier de f, más suave es f. y también vicev­ersa: a mayor suavidad de f más rápidamente decae a cero la sucesión de sus coeficientes de Fourier. AsÍ, el Lema de Wiener establece que las funciones f que son algebraicamente invertibles y que son suaves hasta cierto orden (concretamente, suaves en el sentido que fija la relación ∈ l¹() tienen la cualidad de que sus inversos algebraicos son suaves del mismo orden. Es más, podemos afirmar, orgullosos por nuestra partici­pación en este teorema concreto, que un resultado de este tipo se satisface para "todos" los conceptos de suavidad. Este resultado ha sido demostrado recientemente por Almira y Luther en [3], para el caso de los conceptos de suavidad asociados a la pertenencia a un cierto espacio de aproximación y, posteriormente, ha sido demostrado en otros muchos contextos por Grochenig y Klotz (ver [13], [16], [17]), entre otros.

La importancia de los teoremas Tauberianos de Wiener no se limita a su originalidad. Fue muy importante que él pudiera recuperar, como consecuencia de su Gran Teorema Tauberiano, todos los resultados clásicos que habían abordado previamente Rardy y Lit­tlewood. Además, Wiener fue capaz de demostrar algunos teoremas nuevos en este área. En particular, demostró un teorema Tauberiano para las series de Lambert, a partir del cual se sabía cómo obtener una demostración muy elegante del teorema del número primo (y que sólo había sido conjeturado con anterioridad al trabajo de Wiener, resistiendo nu­merosos ataques de otros matemáticos importantes). Además, Wiener fue capaz, por fin, de demostrar la validez de (2) y, como consecuencia, colocar sobre suelo firme su análisis armónico generalizado.

Tan pronto como su amigo Tamarkin, que era entonces catedrático en la Universidad de Brown, supo que Wiener había demostrado los resultados que acabamos de exponer, le animó con enorme insistencia para que redactara dos artículos monográficos extensos en los que se detallaran sus avances tanto sobre los teoremas Tauberianos como sobre el análisis armónico generalizado. Wiener redactó ambos trabajos. En el primero se incluían los resultados relacionados con el GHA y fue publicado en la revista Acta Math­ematica en 1930. El segundo, dedicado a los teoremas Tauberianos, apareció en Annals of Mathematics en 1932. Fue precisamente con la publicación de estas memorias que Wiener logró una plaza en el "Olimpo" de las matemáticas, avanzando con fuerza hacia la primera línea de la investigación y obteniendo por primera vez el reconocimiento de los matemáticos norteamericanos, algo que aún no había conseguido a pesar de sus importantes contribuciones relacionadas con el movimiento Browniano, la teoría del potencial o el cálculo operacional de Heaviside. En 1933 ganó el premio Bocher y en 1934 fue nom­brado Fellow de la academia nacional de ciencias de EEUU. Aunque Wiener fue admirado en vida (y posteriormente) por ingenieros y físicos, gracias a sus contribuciones a la teoría de filtros, la teoría de la predicción, la cibernética, el movimiento Browniano, etc., los matemáticos de todo el mundo le conocen, sobre todo, por sus teoremas Tauberianos, y esta contribución puede considerarse de tal importancia que por sí misma bastaría para concederle un lugar de honor en la historia del análisis matemático.