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59. (Julio 2014) Teoría generativa de la música - II
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Martes 22 de Julio de 2014

Esta es la segunda entrega de la serie sobre la obra de Fred Lerdahl y Ray Jackendoff A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], publicada en 1983 (en castellano se publicó en 2003 por Akal [LJ03] con traducción de Juan González-Castelao). En el primer artículo de la serie [Góm14] examinamos la génesis de esta obra y sus fundamentos teóricos. En este artículo estudiaremos el agrupamiento y la métrica en primer lugar; a continuación, veremos cómo es la interacción entre ambos; seguiremos con la definición de las reglas de formación del agrupamiento y acabaremos con las reglas de preferencia del agrupamiento. Cerraremos con una breve conclusión en que discutiremos las matemáticas que se encuentran en la teoría generativa de Lerdahl y Jackendoff.

1. La estructura rítmica: agrupamiento y métrica

En los primeros capítulos Lerdahl y Jackendoff estudian el ritmo en profundidad. Se fijan en dos fenómenos rítmicos en particular: el grupo y la métrica. Según estos autores, el grupo aparece de manera natural cuando un oyente escucha una pieza de música; su oído detecta los motivos, los temas, las frases, los periodos, los grupos temáticos, las secciones y finalmente integra todo en la pieza entera. A la vez, como es el caso de la música tonal analizada en el libro, se encuentra la métrica, que está relacionada con los patrones regulares de acentos fuertes y débiles. Ambos fenómenos son distintos en esencia, pero su interacción constituye una importante fuerza musical. En esta sección examinaremos cada uno por separado y en la siguiente sección la interacción entre ellos.

1.1. La estructura de la agrupación

Lerdahl y Jackendoff apelan para la definición de agrupación a la tendencia del ser humano a percibir los objetos en grupos (ambos son perfectos conocedores de la teorías gestaltistas de la percepción, como se demuestra a lo largo de todo el libro). Ellos ven el grupo como un componente básico del entendimiento musical (página 13). La primera hipótesis que formulan acerca de la agrupación en la percepción musical es que esta ocurre de manera jerárquica. Por ejemplo, un motivo es parte de un tema, el cual a su vez es parte de un grupo temático formado por dos o más temas, el cual es parte de una sección, y así sucesivamente. Esta jerarquía clasifica los grupos por su tamaño (un motivo es menor que una sección) e incluye un grupo en otro mayor en base a las relaciones musicales entre ellos. En su lenguaje, si un grupo está incluido en otro se dice que el primero está subordinado al segundo; si un grupo contiene a otro, del primero se dice que domina o está superordinado al segundo. Los autores representan los grupos mediante conjuntos de ligaduras, como en el ejemplo de la figura 1. En dicha figura vemos que dos instancias del grupo p están incluidas en el grupo q.

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Figura 1: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]).

La segunda hipótesis sobre el agrupamiento es el solapamiento. Dada la estructura estrictamente jerárquica de los grupos, el solapamiento no está permitido entre grupos que pertenecen a un mismo grupo dominante. Así, el agrupamiento de la izquierda de la figura 2 constituye un agrupamiento aceptable, mientras que el de la derecha no lo es a causa de los solapamientos.

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Figura 2: Representación de grupos (figura tomada de [LJ83]).

A partir de estas dos hipótesis, Lerdahl y Jackendoff añaden otras dos, que ya no son tan generales y que perfilan y definen el sentido de su teoría generativa. La primera hipótesis es la estructura recursiva de los agrupamientos. Si un grupo dominante contiene un determinado número de subgrupos, esta relación, sin cambios sustanciales, se da en cualquier nivel. El ejemplo que ponen para ilustrar esto es el comienzo del scherzo de la sonata opus 2, número 2, en la mayor, de Beethoven, que vemos reproducido en la figura 3.

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Figura 3: Estructura recursiva de los grupos (figura tomada de [LJ83]).

La segunda hipótesis se refiere a la formación de los grupos y se sigue del principio de no solapamiento enunciado más arriba. Establece que el agrupamiento de grupos no contiguos no está permitido. Los grupos que pueden agruparse en otro más grande han de ser grupos contiguos. De otro modo, se producirían solapamientos prohibidos entre grupos. Así, si tenemos estos dos grupos (a,a,b) y (a,a,b) a un cierto nivel, el agrupamiento permitido es (a,a,b,a,a,b), pero no, por ejemplo, los grupos (a,a) y (b,a,a,b). Este principio aparece reflejado también en el ejemplo de la figura 3, donde todos los agrupamientos se producen entre grupos contiguos.

1.2. La estructura métrica

Siendo conscientes de los problemas terminológicos que el concepto de acento posee, Lerdahl y Jackendoff empiezan esta sección (página 17) definiendo este término de manera precisa. Distinguen tres tipos de acentos: el acento fenoménico, el acento estructural y el acento métrico. El acento fenoménico, el más general en su definición, es cualquier evento en la superficie musical que haga énfasis sobre algún elemento musical en un momento dado de la música. En el ejemplo de la figura 4, una reducción para piano de La danza de las jóvenes de La consagración de la primavera, tenemos ejemplos de acentos fenoménicos, que son los acentos que Stravinsky marcó en tiempos inesperados (marcados con el signo > en la partitura).

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Figura 4: Ejemplo de los distintos tipos de acentos.

El acento estructural es el producido por los puntos de gravedad armónicos y melódicos en una frase o sección; está fuertemente relacionado con el ritmo armónico o con el sentido final de la melodía. Por último, el acento métrico es cualquier tiempo que es relativamente fuerte en su contexto métrico. Para hablar de métrica es necesario suponer que existe una red de tiempos y que existe un patrón regular de tiempos fuertes y débiles. En el ejemplo anterior, el compás 2/4 marca que la primera negra es fuerte y la segunda débil; al nivel de la semicorchea ese patrón se hereda y tenemos cuatro corcheas en que las corcheas impares son fuertes y las corcheas pares débiles.

Obviamente, los tres tipos de acentos tienen estrechas relaciones en muchas ocasiones. A veces el acento fenoménico coincide con el métrico como pasa en el ejemplo de Stravinsky, donde algunas partes fuertes del compás de 2/4 coinciden con los acentos (pero otras, en cambio, no).

El acento fenoménico suele tener bastante relevancia perceptual y puede contradecir o no el acento métrico. Si el acento fenoménico es regular y se alinea con el métrico, se apoyan mútuamente, podríamos decir, entonces la sensación de regularidad es muy alta. Si por el contrario, el acento fenoménico, aun siendo regular, entra en claro conflicto con el métrico, entonces se produce una gran tensión rítmica.

Muy interesantes son los comentarios de la página 18 sobre la naturaleza de la métrica que hacen Lerdahl y Jackendoff (nuestra traducción).

Before proceeding, we should note that the principles of grouping structure are more universal than those of metrical structure. In fact, though all music groups into units of various kinds, some music does not have metric structure at all, in the specific sense that the listener is unable to extrapolate from the musical signal a hierarchy of beats.

(Antes de proseguir, deberíamos hacer notar que los principios de agrupamiento son más universales que los de la estructura métrica. De hecho, aunque todas las músicas agrupan en unidades de diversos tipos, algunas músicas no tienen estructura métrica en absoluto, en el sentido específico de que el oyente es incapaz de extrapolar una jerarquía de tiempos a partir de la señal musical.)

Aquí los autores reconocen que la estructura métrica es un constructo mental; en cambio, el agrupamiento es producto de un proceso perceptual.

Como dijimos arriba, los elementos básicos de la métrica son los tiempos. Estos tiempos son puntos temporales y como tales no tienen duración. La duración entre los tiempos se llama intervalo temporal y estos sí tienen duración. Una hipótesis que hacen Lerdahl y Jackendoff es que los tiempos están igualmente espaciados.

A partir de aquí, y a imagen y semejanza de lo que pasó con el agrupamiento, se dota a la métrica de una estructura jerárquica. Esto es típico de la música tonal objeto del análisis del libro, la música tonal de la práctica común. Un tiempo fuerte a cierto nivel métrico es descompuesto en dos o tres tiempos, dependiendo la división del compás, donde el primer tiempo fuerte sigue siéndolo en el nuevo nivel métrico. Los autores ilustran este punto con la siguiente figura:

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Figura 5: Jerarquía de la estructura métrica (figura tomada de[LJ83]).

Los principios que se establecieron para el agrupamiento —recursión, no solapamiento y adyacencia—se aplican con igual vigencia a la estructura métrica. En la figura 5 (a) tenemos un primer nivel en que todos los tiempos son fuertes (indicado por los puntos); en el siguiente nivel son los impares y, por último, en el siguiente nivel los tiempos fuertes son los múltiplos de cuatro. La figura 5 (b) muestra un esquema similar pero con un compás de 3/4.

En una pieza suele haber alrededor de cinco o seis niveles métricos. La métrica indicada por el compás suele ser la del nivel medio. No todos los niveles métricos se oyen con la misma prominencia. De hecho, un oyente puede centrar su atención en diversos niveles métricos a voluntad, pero los más prominentes son aquellos en que los tiempos van a una velocidad moderada.

Ledahl y Jackendoff son conscientes de los peligros que implica llevar un análisis métrico a gran escala. Ilustran estos peligros con el análisis del comienzo de la sinfonía número 40 de Mozart. Mientras que el análisis de la estructura métrica a pequeña escala es claro y unívoco, al análisis a gran escala (analizaron solo 9 compases) presenta muchas dificultades formales, hasta el punto que ellos mismos hablan ya de interpretación y no de análisis en sí mismo. Esta es una de las virtudes metodológicas de este libro: en general, delimita muy bien el alcance de sus hipótesis tanto por la discusión desarrollada como por los ejemplos que poner.

2. La interacción entre el agrupamiento y la estructura métrica

Para los autores es importante que las propiedades del agrupamiento y la estructura métrica, aunque sean semejantes, se mantengan separadas para el análisis. Ello no obsta para que investiguen sus interacciones, si bien desde definiciones formales diferentes. El siguiente pasaje del minueto de la sinfonía de Haydn número 104, en el que se ven ambos análisis, el de agrupamiento y el métrico, esclarece el porqué de ese empeño.

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Figura 6: Interacción entre agrupamiento y estructura métrica (figura tomada de [LJ83]).

Vemos que el agrupamiento no está alineado con la estructura métrica, que lleva su propia regularidad independiente de esta. Hay tiempos fuertes que caen en diversas partes de los grupos. Sin embargo, lo que oímos es el resultado de ambas interacciones.

3. Reglas de formación del agrupamiento

Esta sección es una síntesis del capítulo 3 del libro, capítulo que dedica a estudiar la organización de la superficie musical en grupos (página 36). Desde el primer momento, los autores mantienen que las reglas de formación del agrupamiento son independientes del lenguaje musical concreto. Esto significa que un oyente poco familiarizado con un lenguaje musical puede inferir el agrupamiento de una pieza en ese lenguaje. Aunque el libro fue publicado en el año 83, cuando la cognición musical ya había empezado a desarrollarse con fuerza, se echa de menos en esta parte referencias a la investigación empírica. Esta afirmación de que la formación de grupos es un principio general y que no depende del lenguaje musical requiere referencias a estudios con sujetos procedentes de diversas culturas. Hoy en día sabemos que, aunque es cierto que hay principios perceptuales que operan de modo general, hay muchos mecanismos de agrupación que provienen de la enculturación, sea esta consciente o no.

Tras los dos primeros capítulos, donde Lerdahl y Jackendoff describieron el agrupamiento y la métrica e hicieron las pertinentes hipótesis, ahora se centran en detallar la gramática generativa. Para ello dan una serie de reglas de formación correcta del agrupamiento (abreviadamente de aquí en adelante como RFCA). Antes de empezar a enumerar, los autores ponen encima de la mesa una limitación en el alcance de la teoría. Su teoría solo explica la música que es esencialmente homofónica y no la polifónica. Dejan como problema abierto esta cuestión, es decir, generalizar esta teoría de modo que pueda explicar la música contrapuntística y heterofónica.

Las reglas de formación especifican en qué condiciones se pueden formar los grupos. Estas reglas rezan como sigue:

RFCA 1: Cualquier sucesión contigua de eventos tonales, golpes de tambor o similares pueden constituir un grupo, y solo sucesiones contiguas pueden constituir grupos.
RFCA 2: Una pieza constituye un grupo.
RFCA 3: Un grupo puede estar constituido por otros grupos.
RFCA 4: Si un grupo G1 contiene parte de otro grupo G2, entonces tiene que contener a todo G2 entero.
RFCA 5: Si un grupo G1 contiene un grupo más pequeño G2, entonces G1 tiene que descomponerse en grupos más pequeños.

Para ilustrar estas reglas, los autores toman los primeros compases de la sinfonía de Mozart número 40, en sol menor. En la figura 7 vemos la formación de grupos a tres niveles, las cuales se han realizado acorde a las RFCA.

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Figura 7: Reglas de formación correcta del agrupamiento (figura tomada de [LJ83]).

La regla RFCA 1 no es más que la consecuencia inmediata de las definiciones de agrupamiento dadas más arriba, en la sección 1.1. Esta regla, por ejemplo, impide que las notas re del pasaje anterior se puedan considerar un grupo, ya que no son contiguas. Aquí se percibe que detrás de esta regla está el principio de contigüidad de la psicología gestaltista.

Las reglas RFCA 2 y RFCA 3 son una especie de condición de frontera; la pieza entera ha de percibirse como un todo y no como sucesión aislada de eventos.

Las reglas RFCA 4 y RFCA 5 tienen más calado musical. Determinan cómo ha de realizarse la inclusión de unos grupos dentro de otros. La regla RFCA 4 está pensada para que agrupaciones como las de abajo no ocurran:

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Figura 8: Agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]).

Estos agrupamientos tienen solapamiento (el de la izquierda) y también vemos que G1 contiene parcialmente una instancia de G2 (ejemplo de la derecha).

La regla RFCA 5 por su parte prohibe estructuras de agrupamiento como la de la figura 9.

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Figura 9: Otros agrupamientos incorrectos (figura tomada de [LJ83]).

En estos agrupamientos vemos descomposiciones en grupos incompletas; la unión de G2 y G3 no da el grupo G1. Esta regla no prohibe, sin embargo, la descomposición de un grupo mientras que otra instancia de ese mismo grupo pueda no estar descompuesta. Véase el agrupamiento en el ejemplo de Mozart de la figura 7, en los tres primeros compases.

Lerdahl y Jackendoff son perfectamente conscientes que estas reglas no cubren todos los casos que se pueden encontrar en la práctica musical. En particular, no cubren las solapamientos de grupos y elisiones. La manera de tratar estos dos fenómenos musicales en su teoría no fue la de ampliar las reglas anteriores, sino crear una nueva categoría de reglas, llamadas reglas de transformación, que presentarán más tarde. Estas reglas de transformación tratarán el problema del solapamiento de grupos y las elisiones.

4. Reglas de preferencia del agrupamiento

De nuevo, con su habitual honestidad intelectual, Lerdahl y Jackendoff reconocen que las reglas que han enumerado hasta ahora pueden dar lugar a agrupamientos que van en contra de la intuición musical más básica. De hecho, ellos mismos ponen los siguientes ejemplos (página 39).

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Figura 10: Agrupamientos poco intuitivos permitidos por las RFCA (figura tomada de [LJ83]).

En efecto, parece que ninguna de estas agrupaciones podría corresponder al agrupamiento “natural” (bien van contra armonía, o contra la agrupación melódica). Los autores no se enfrentan a esta situación aumentando las reglas de formación. En su lugar, proporcionan un nuevo tipo de reglas, las reglas de preferencia de la agrupación (RPA a partir de ahora) . Estas reglas de preferencia se basan fuertemente en los principios gestaltistas de proximidad y similitud (y en el libro emplean un buen número de páginas a explicarlas a partir de ejemplos tomados del campo visual).

Las reglas de preferencia están divididas, a su vez, en dos categorías: las reglas de detalle local y las reglas de alto nivel. Dentro de la jerarquía ascendente de agrupamiento, las reglas de detalle local formalizan los grupos a bajo nivel y las reglas de alto nivel, los grupos que comprenden los grupos más grandes. Empezaremos por las reglas de detalle local, que son las siguientes:

RPA 1: Evítense los grupos que contengan un único evento.
RPA 2 (proximidad): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si:
  1. (Ligadura/silencio) el intervalo de tiempo desde el final de n2 hasta el principio de n3 es mayor que el del final de n1 al principio de n2 y que el del final de n3 al principio de n4, o bien si
  2. (Punto de ataque) el intervalo de tiempo entre el ataque de n2 y n3 es mayor que el que va de n1 a n2 y el que va de n3 a n4.
RPA 3 (cambio): Considérense cuatro notas (n1,n2,n3,n4). Si el resto permanece igual, la transición n2 - n3 se puede oír como la frontera de un grupo si:
  1. (registro) la transición n2 -n3 implica una distancia interválica mayor que la de n1 -n2 y la de n3 - n4, o si
  2. (dinámica) la transición n2-n3 implica un cambio en dinámica y las transiciones n1-n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si
  3. (articulación) la transición n2 - n3 implica un cambio de articulación y las transiciones n1 - n2 y la de n3 - n4 no tienen ese cambio, o si
  4. (longitud) n2 y n3 son de diferente longitud y los dos pares n1,n2 y n3,n4 no difieren en longitud.

La primera regla RPA 1 tiene la intención de recoger la idea de que no se tiende a oír notas aisladas como eventos musicales significativos, sino que se tiende a integrarlos en grupos mayores. Solo en casos muy justificados (por otros elementos musicales apoyando fuertemente) podría identificarse una sola nota como un evento musical.

La segunda regla de preferencia RPA 2 establece las condiciones en que se forman las fronteras entre grupos consecutivos. La regla trata el caso de cuatro notas, donde la frontera se crea entre las notas segunda y tercera. Esta creación ocurre cuando hay un elemento musical más prominente (distancia interválica, dinámica o articulación) exactamente antes y después. En el ejemplo de abajo vemos la aplicación de esta regla de preferencia. Gracias a ella se puede explicar como las tres primeras notas en (a), (b) y (c) de la figura 11 se oyen como un grupo y el resto de las notas como perteneciente a otro grupo distinto.

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Figura 11: Reglas de preferencia de proximidad (figura tomada de [LJ83]).

La regla RPA 3 tiene bastantes paralelismos con la RPA 2. Los propios autores afirman en su libro que otros elementos musicales se pueden incorporar a esta regla, tales como la textura o el timbre. En la figura 12 tenemos un ejemplo en que se dan los cuatros casos de la regla de preferencia de cambio.

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Figura 12: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de[LJ83]).

Por último, tenemos en la figura 13 el mismo pasaje de la sinfonía número 40 de Mozart donde se pueden apreciar distintas aplicaciones de las reglas de preferencia anteriores.

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Figura 13: Reglas de preferencia de cambio (figura tomada de [LJ83]).

A continuación detallamos las reglas de organización de alto nivel. Son reglas que tratan de explicar y formalizar periodos más grandes de música que el motivo o simplemente que unos pocos compases. Para la regla RPA 7 necesitamos presentar dos nuevos conceptos, la reducción del tramo temporal y reducción de prolongación. La primera se refiere a cómo asignar a las alturas una jerarquía de importancia estructural con respecto a su posición en el agrupamiento y la métrica. La reducción de prolongación asigna a las alturas una jerarquía que expresa la tensión y relajación así como continuidad y progresión en los elementos armónicos y melódicos. En el artículo de septiembre se desarrollarán más a fondo estos dos conceptos.

RPA 4 (intensificación): Fórmese una frontera que dé lugar a un grupo mayor allí donde los efectos dados por las reglas RPA 2 y RPA 3 sean más pronunciados.
RPA 5 (simetría): Prefiéranse los análisis de agrupamientos que se acerquen más al ideal de subdivisión de un grupo en dos subgrupos de igual longitud.
RPA 6 (paralelismo): Allí donde dos o más segmentos de la música se puedan concebir como paralelos, preferiblemente deberán formar partes paralelas de un mismo grupo.
RPA 7 (estabilidad del intervalo temporal y de prolongación): Prefiérase una estructura de agrupamiento que dé como resultado un intervalo temporal o una reducción de prolongación más estable.

En el ejemplo de la figura 14, la mera aplicación de las reglas RPA 2 (a) y (b) detectaría correctamente las fronteras entre los grupos de tresillos. Sin embargo, no marcaría la agrupación al siguiente nivel, el segundo, ya que esas reglas construyen las fronteras sobre las ligaduras y los ataques. La regla RPA 4 sí permite obtener las agrupaciones posteriores.

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Figura 14: Agrupaciones asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]).

Las reglas RPA 5 y RPA 6 construyen las fronteras de los grupos a base de maximizar la simetría y el paralelismo. En el caso de la simetría, la regla de preferencia aconseja que en lo posible los subgrupos tengan la misma duración. En la figura 15vemos dos conjuntos de tresillos. En la figura 15 (a), dado que son cuatro tresillos, es inmediato que la agrupación natural es la que está desarrollada ahí. En figura 15 (b) tenemos seis grupos de tresillos y ahora estamos en presencia de dos interpretaciones posibles, la (i) y la (ii). Ninguna de las dos satisface a todos los niveles la regla RPA 5. En este caso, hay que acudir a otras consideraciones (ritmo armónico, textura u otros).

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Figura 15: Diversas agrupaciones posibles asociadas a tresillos (figura tomada de [LJ83]).

Para el caso del paralelismo, la regla RPA 6, tenemos el siguiente ejemplo.

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Figura 16: Agrupación basada en el paralelismo (figura tomada de [LJ83]).

El grupo de notas de la figura 16 (a) puede agruparse de varias maneras, pero según la regla RPA 6 esto ha de hacerse en grupos de tres notas porque de este modo el paralelismo entre los grupos se hace patente. Lo mismo puede decirse de la figura 16 (b), en este caso siendo la agrupación de cuatro notas.

En el próximo artículo se desarrollará y pondrán ejemplos de aplicación de la regla RPA 7.

5. Conclusiones

Del estudio de las reglas anteriores se extraen interesantes conclusiones. Lerdahl y Jackendoff optan por una descripción no matemática de su teoría, incluso aunque esta sea claramente matematizable. La formalización del agrupamiento, como hemos visto arriba, lleva implícita el concepto de recursión, concepto matemático donde los haya. Además la formación de los grupos es muy similar a una relación binaria tal como puede ser la inclusión; dicha relación de formación de grupos posee unas reglas para evitar los solapamientos y las elisiones. La formalización para la métrica es muy similar a la del agrupamiento, incluyendo también el concepto de recursión. Los casos que faltan por cubrir en el primer estadio de la formalización se suplen con la definición de las reglas de preferencia, que recogen fenómenos musicales más complejos (creación de grupos en base a articulación, diferencia interválica o de longitud, paralelismo, simetría, etc.). Como vemos, la teoría generativa tiene un sustrato matemático nítido.

La razón por la que Lerdahl y Jackendoff no exponen su teoría con un lenguaje abiertamente matemático (con símbolos y una formalización más dura) es porque no tienen interés en probar teoremas a partir de esta formalización (página 53, último párrafo). En su caso, se conforman con la exposición de su teoría en lenguaje natural (lo cual no quita que lo hagan con rigor) y confían en crear un sistema formal que constituya una buena descripción de la música tonal, que cubra cuanta más música posible y, por último, que sea lo más predictivo posible. También rechazan los aspectos cuantitativos de la teoría. No se esfuerzan en ningún momento en asignar funciones que puedan devolver números que expresen, por ejemplo, el grado de reducción de prolongación o la intensidad de la creación de la frontera de un grupo. Reconocen con total honestidad que no están interesados en esa cuantificación. Ellos quieren identificar las variables que son relevantes a la hora de establecer la intuición musical así como esas variables interactúan entre sí (página 54), pero no desde un punto de vista numérico.

 

Bibliografía

[Góm14] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, consultado en junio de 2014.

[LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983.

[LJ03] F. Lerdahl and R. Jackendoff. Teoría generativa de la música tonal. Akal, 2003. Traducción de Juan González-Castelao Martínez.

 

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