La obra geométrica de Apolonio

ElTesoro del Análisis de La Colección Matemática de Pappus estaba constituido en gran parte por obras de Apolonio, perdidas o conservadas entonces de forma fragmentaria, que debían de incluir mucho material geométrico cuyo estudio forma parte hoy de la Geometría Analítica. Como se sabe, durante el siglo XVII hubo una auténtica obsesión, en particular por Fermat, por la reconstrucción de muchas de las obras perdidas de Apolonio y precisamente en esta labor estuvo el origen de su Geometría Analítica.

Según Pappus debemos a Apolonio la clasificación clásica de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales –según sean resolubles, respectivamente, con rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores–, que perseguía la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geométricos a utilizar a la enjundia de los problemas geométricos a resolver.

Los dos Libros sobre Los Lugares Planos estudiaban lugares geométricos rectilíneos o circulares. Mediante un lenguaje geométrico moderno buena parte del Libro I se puede resumir diciendo que la homotecia, la traslación, la rotación, la semejanza y la inversión, transforman un lugar plano en otro lugar plano. En el Libro II aparecen dos importantes lugares geométricos:

• «El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos A, B, es constante, es una recta perpendicular al segmento AB».

• «El lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijoses constante, es una circunferencia».

En el libro Secciones en una razón dada –el único que ha sobrevivido además de siete de los ocho Libros de Las Cónicas–, traducido por Edmond Halley del árabe al latín, en 1710– Apolonio resuelve diversos casos del siguiente problema:

«Dada dos rectas y sendos puntos en ellas, trazar por un tercer punto otra recta que corte a las anteriores en segmentos, que medidos sobre ellas desde los respectivos puntos dados, estén en una razón dada».

Este problema conduce a una ecuación cuadrática de la forma ax–x²=bc. También en el libro Secciones en un área dada se resuelve un problema similar que pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro dado. En este caso el problema lleva a una ecuación cuadrática de la forma ax+x²=bc. Con la potencia de nuestra herencia cartesiana y fermatiana, la Geometría Analítica, los problemas se reducen fácilmente a una intersección de cónicas. El geómetra griego aplicaba con suma habilidad el Álgebra geométrica de los Libros II y VI de Los Elementos de Euclides, para, mediante transformaciones geométricas sucesivas, reducir la ecuación –permítasenos un anacronismo matemático– a una forma canónica en la que se reconocía alguna de las tres cónicas. De esta forma podemos imaginar cómo merced a sus extensos conocimientos sobre las curvas cónicas pudo proceder Apolonio en la resolución de problemas tan brillantes.

En el Libro Secciones determinadas, Apolonio plantea el problema siguiente:

«Dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre la misma recta, hállese un quinto punto P sobre ella, de modo que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el construido sobre BP y DP».

Como en los casos anteriores el problema es equivalente a la resolución de ecuaciones cuadráticas, con las que se tratan todas las variantes que se presentan en los datos y las correspondientes soluciones.

En los dos Libros De las Inclinaciones, aparecen problemas sólidos y lineales donde se renueva una técnica utilizada por Arquímedes en Sobre las espirales, por ejemplo:

«Dadas dos líneas y un punto, trazar por él una recta tal que las líneas dadas corten en ella un segmento de longitud dada».

Finalmente mencionamos las siguientes obras de Apolonio:

• Las Tangencias (obra conocida también por el nombre de Los Contactos que alude a la concepción de la tangente en la Geometría griega) donde aparece el histórico Problema de los círculos Apolonio que veremos más adelante.

• El Okytokion (o Tratado sobre Cálculo rápido), una obra de Logística –la Aritmética práctica de los griegos de uso en el comercio y los oficios artesanales– con técnicas para el manejo de números grandes más operativas que las del Arenario de Arquímedes.

• Un tratado acerca del tornillo, Sobre la hélicecilíndrica, citado por Gémino (hacia 77 a.C.).

• Un Tratado universal, citado por Marino (hacia 475 d.C.), que examinaba, tal vez con intención y espíritu crítico, los fundamentos de las Matemáticas, y que incluía observaciones sistemáticas de tipo axiomático. Algunos restos remanentes de esta obra pudieran haber subsistido en las Definiciones de Herón (hacia 65 a.C.) y sobre todo en el Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides de Proclo (hacia 460 d.C.).

• Sobre los irracionales desordenados, obra que glosaría el Libro X de Los Elementos de Euclides sobre los inconmensurables cuadráticos, llamado por Stevin «la cruz de los matemáticos».

• Sobre el Icosaedro y el Dodecaedro, obra dedicada a la comparación de poliedros regulares inscritos en una esfera. Algunos de los resultados geométricos de esta obra pasaron al apócrifo Libro XIV de Los Elementos de Euclides, que se atribuye a Hipsicles (hacia 150 a.C.). Los dos teoremas más interesantes son:

«La circunferencia circunscrita al pentágono regular del dodecaedro y la circunscrita al triángulo equilátero del icosaedro, ambos inscritos en la misma esfera, es la misma».

«Si se inscribe un cubo, un dodecaedro y un icosaedro en una esfera, los lados del cubo y del icosaedro son proporcionales a las áreas y a los volúmenes del dodecaedro y del icosaedro, siendo el factor de proporcionalidad la razón áurea, es decir, la razón entre los segmentos que divide una recta en media y extrema razón».

La Edición de BARROW de las Cónicas de Apolonio