Las cónicas de Menecmo y el problema de la Duplicación del Cubo.

Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica –el más famoso de los discípulos de Eudoxo y maestro de Aristóteles y Alejandro Magno–, la introducción de las secciones cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola, la llamada «Triada de Menecmo». Veremos que el descubrimiento fue un feliz hallazgo en relación con el problema délico de la «duplicación del cubo». Menecmo detectó que para la resolución del problema había una familia de curvas adecuadas, los tres tipos de cónicas obtenidos por el mismo método, a partir de la sección por un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, según que el ángulo en el vértice fuera agudo, recto u obtuso.

Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría Analítica moderna) puede escribirse en la forma y²=lx, donde l es una constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia platónica.

Sea, pues, ABC el cono y sea EDG la curva obtenida al cortarlo por un plano perpendicular en el punto D a la generatriz ADC del cono. Sea P un punto cualquiera de la curva sección y un plano horizontal que corta al cono en la circunferencia PVQR, siendo Q el otro punto de intersección de la curva sección con esta circunferencia.

Por razones de simetría resulta que los segmentos PQ y RV son perpendiculares en el punto O, de modo que OP es la media proporcional entre RO y OV. Por tanto OP²=RO·OV.

Ahora de la semejanza de los triángulos DOVD y DBCA se tiene: OV/DO = BC/AB, y de la semejanza de los triángulos DSDA y DABC se tiene: SD/AS = BC/AB.

Tomando OP=y, OD=x, como «coordenadas» del punto P, se tiene y² = RO·OV, de modo que sustituyendo: y² = OP² = RO·OV = SD·OV = AS·(BC/AB)· DO·( BC/AB) = ([AS·BC²]/AB²)·x .

Ya que los segmentos AS, BC y AB son los mismos para todos los puntos de la curva EQDPG, podemos escribir la ecuación de la curva o «sección del cono rectángulo» en la forma: y²=lx, donde l es una constante que más tarde se llamaría el «latus rectum»

De una forma totalmente análoga para conos con ángulo agudo y obtuso en el vértice Menecmo obtendría expresiones de la forma:

y²= lx – (b²/a²) · x²,sección de cono acutángulo,

y²= lx + (b²/a²) · x²,sección de cono obtusángulo.

donde a y b son constantes y el plano de corte es perpendicular a una generatriz.

Se observa una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y el uso de coordenadas, lo que induce a los historiadores a afirmar que este geómetra ya conocía ciertos aspectos de la Geometría Analítica. De hecho ignorando el lenguaje de ésta se hace difícil explicar el hallazgo de Menecmo.

Las cónicas de Menecmo tienen su origen en los intentos de Hipócrates de Quíos (hacia 400 a.C.) de resolución del problema clásico de la Duplicación del Cubo mediante la interpolación de dos medias proporcionales.

Sea un cubo de arista a. A partir de la proporción continua: , resultado de interpolar dos medias proporcionales entre a y su doble 2a, se obtienen las parábolas x²=ay, y²=2ax, y la hipérbola equilátera xy=2a².Tanto la intersección de las dos parábolas como la intersección de una de las parábolas y la hipérbola proporciona x³=2a³, es decir, la arista del cubo de volumen doble.

Lo que en nuestro lenguaje geométrico analítico realizamos utilizando las ecuaciones de las cónicas, Menecmo lo hallaría mediante la construcción de puntos de intersección de las cónicas obtenidas, desplazando convenientemente el plano de corte con el cono a fin de hallar cónicas con latus rectum conveniente al objetivo propuesto.

Aunque según el testimonio de Proclo y Eutociusfue Menecmo el primero que descubrió las secciones cónicas, tal vez no fue así, ya que antes Arquitas de Tarento (hacia 400 a.C.), gran político reformador y maestro de Platón, había estudiado el problema de la Duplicación del Cubo, obteniendo las dos medias proporcionales mediante una compleja intersección de un cono de revolución, un cilindro de revolución y una superficie tórica. Así pues, Arquitas pudo haber estudiado la elipse como sección oblicua del cilindro. Por otra parte, después de la línea recta, es la elipse la curva más habitual en la experiencia, ya que los objetos circulares mirados de forma oblicua, así como la sombra que arrojan, son elípticos.

Se ha especulado a veces incluso con un origen de las cónicas por generación cinemática como la Cuadratriz de Hipias o la Espiral de Arquímedes, pero parece desmentirlo la persistencia hasta el siglo XVII del nombre que los griegos dieron de Problemas sólidos a los que dependían de las cónicas para su resolución, como si se quisiera insistir en su origen estereométrico.

Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta –directriz– y a un punto –foco– están en una determinada razón –excentricidad–. Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica y además, la trigonometría permite mediante la rotación de ejes pasar fácilmente de la ecuación de la hipérbola referida a sus ejes a la referida a sus asíntotas. De modo que realmente impresiona la extraordinaria habilidad de Menecmo descubriendo la más útil familia de curvas de toda la Matemática y de toda la Ciencia y en ausencia del instrumento y el simbolismo algebraicos. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico, Menecmo fue capaz de vincular ambos aspectos de las cónicas, mostrando que las secciones de los conos tenían importantes propiedades como lugares planos, traducibles en básicas expresiones geométricas (equivalentes a nuestras ecuaciones), que permitían deducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cónicas, que serían plasmadas por Apolonio en los primeros libros de Las Cónicas. Es bajo esta visión sobre el trabajo de Menecmo que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria y Heath) reclaman para los griegos, y empezando por Menecmo, la paternidad de la Geometría Analítica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemática el estudio de los lugares por medio de ecuaciones.

Euclides escribió, además de Los Elementos, otras muchas obras de las que tenemos constancia e incluso fragmentos a través de ElTesoro del Análisis de Pappus. Una de ellas fue un trabajo sobre secciones cónicas, incorporado más tarde a Las Cónicas de Apolonio.

Asimismo, los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra Sobre el Método relativo a los teoremas mecánicosdedicado a Eratóstenes pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió Las Cónicas.

Las Cónicas de Apolonio

Durante más de ciento cincuenta años, las curvas introducidas por Menecmo se llamarían a partir de la descripción trivial de la forma cómo habían sido descubiertas, es decir, mediante las perífrasis: sección (perpendicular a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente.

Fue Apolonio en Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola.

LA GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS DE APOLONIO

Construcción de Apolonio de las tres secciones cónicas mediante un cono único, variando la inclinación del plano que corta al cono. Parábola: el plano de corte es paralelo a una sola generatriz. Elipse: el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz. Hipérbola: el plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices.

Además, siguiendo probablemente una sugerencia de Arquímedes, Apolonio acuñó para la posteridad los nombres de elipse, parábola e hipérbola para las secciones cónicas. A lo largo de la Historia de la Matemática, los conceptos han sido siempre más importantes que la terminología utilizada, pero en este caso el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio, tiene una importancia más allá de lo meramente nominalista. Los términos adoptados en realidad no eran nuevos, sino que procedían, como sabemos, del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Areas. Elipse significa deficiencia; Hipérbola significa exceso (en el lenguaje ordinario una hipérbole es una exageración); y por ultimo Parábola significa equiparación. El cambio de nomenclatura envolvía un cambio conceptual, toda vez que las cónicas ya no serían descritas constructivamente, sino a través de relaciones de áreas y longitudes, que daban en cada caso la propiedad característica de definición de la curva y expresaban sus propiedades intrínsecas. Por ejemplo, la conocida ecuación de la parábola con vértice en el origen es y²=lx, donde l es el latus rectum o parámetro doble que se representa por 2p. Esta expresión de la parábola en forma de ecuación sintetiza precisamente el farragoso y larguísimo enunciado de la Proposición I.11 de Las Cónicas en forma de propiedad que cumple la sección cónica considerada, bautizada por Apolonio justamente aquí con el nombre de Parábola. Este enunciado muy resumido viene a decir:

«La Parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al rectángulo construido sobre la abcisa x y el latus rectum l».

Análogamente, Apolonio hará lo propio para la hipérbola y la elipse en las dos proposiciones siguientes que redactadas en un retórico lenguaje abstruso y prolijo, se puede simplificar en la forma siguiente Proposición I.12 (resp. I.13):

«En la sección cónica considerada [llamada hipérbola (resp. llamada elipse)], el cuadrado de la ordenada equivale a un área rectangular aplicada siguiendo el latus rectum, es decir, teniendo el latus rectum como altura, y teniendo la abscisa como base, aumentada (resp. disminuida) de otra área semejante a la que tenga el eje transverso o diámetro como base, y la mitad del latus rectum como altura».

Simplificando todavía más, mediante ecuaciones, como en el caso de la parábola, el complejo lenguaje de Apolonio, designando: para la hipérbola a el eje transverso o diámetro y b el eje no transverso, para la elipse a y b los ejes, y para ambas cónicas y la ordenada, x la abscisa, y l el latus rectum, podemos traducir los enunciados de las proposiciones I.12 y I.13 en las relaciones:

Hipérbola: y²= lx + (b²/a²) · x²o bien[(x+a)²/a²] – [y²/b²] = 1

Elipse: y²= lx – (b²/a²) · x²o bien [(x–a)²/a²] + [y²/b²] = 1

ecuaciones de la hipérbola y de la elipse, respectivamente, referidas a uno de sus vértices como origen de coordenadas donde concurren como ejes de coordenadas un diámetro y la tangente a la cónica en su extremo, y donde el latus rectumo parámetro l es: l=2b²/a.

Veamos, en efecto, como se llega a estas ecuaciones en el caso de la elipse:

Lo que demuestra Apolonio en la Proposición I.13, con un lenguaje retórico, es que hay una relación constante entre ciertas áreas, el cuadrado de lado la cuerda PQ y el rectángulo determinado por los segmentos OQ, QR del diámetro.

En particular se verificará:

.

Tomando coordenadas con origen en el vértice O, y llamando x, y, a, b y l, como antes, se tiene: , de donde resulta:

, es decir:

, donde l=2b²/a es el latus rectum, como se quería probar.

Vemos que las relaciones de áreas de Apolonio, que expresan propiedades intrínsecas de la curva, se prestan, con suma facilidad, a ser traducidas en el ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones, lo cual permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la principal finalidad programática de la Geometría Analítica.

A la vista de las expresiones obtenidas para las cónicas, trasunto de la propiedad fundamental que satisfacen como lugares planos, se aprecia que, en el caso de la elipse y²<lx, mientras que para la hipérbola y²>lx. Estas propiedades de las curvas expresadas por estas desigualdades son las que sugirieron, con base en el lenguaje griego ordinario, los nombres de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola, bautizadas por Apolonio hace más de dos mil años. Así los nombres no sólo no son arbitrarios sino que responden a la semántica de los términos y han sido tan afortunados que han quedado firme y unánimemente asociados al diccionario geométrico de las cónicas para siempre.

Las Cónicas de Apolonio fueron escritas en ocho libros de los que conservamos siete gracias a los trabajos de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.) y de Edmond Halley (1656-1742).

El Libro I de Las Cónicas de Apolonio se inicia con la generación de las cónicas, pero una vez que se obtienen mediante consideraciones estereométricas las relaciones básicas entre lo que llamaríamos las coordenadas de un punto de la curva en el plano, expresadas por las ecuaciones descritas, Apolonio se dedica a estudiar por métodos planimétricos las propiedades fundamentales de las cónicas, incluyendo tangentes y diámetros conjugados, a partir de esas ecuaciones planas, obviando toda referencia explícita al cono generador. Apolonio utiliza de forma sistemática un par de diámetros conjugados o un diámetro y una tangente como equivalente de un sistema de coordenadas oblicuas, habiendo demostrado previamente que si se traza una recta por un extremo de un diámetro de una elipse o de una hipérbola, paralela a su diámetro conjugado, la recta trazada es tangente a la cónica. El sistema de referencia diámetro–tangente se muestra de una significativa utilidad ante la invariancia de la ecuación de la cónica frente a un cambio de referencia diámetro–tangente de un punto a otro punto de la cónica (Proposiciones 41 a 49). En particular, Apolonio conocía las propiedades de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas xy=a².

El Libro II abunda en nuevas propiedades y hace un estudio exhaustivo de las asíntotas. Al final del Libro estudia el problema de trazar una tangente que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa por el punto de contacto.

El Libro III estudia primero propiedades de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados y otras propiedades de las tangentes, entre ellas se establece, en la Proposición 41, cómo tres tangentes a la parábola se cortan en la misma razón de modo que la parábola resulta envolvente de las rectas con esta propiedad. En la proposición 43 aparece la hipérbola como lugar de puntos tales que xy=constante, donde x e y son abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asíntotas. Después Apolonio estudia una serie de hermosas propiedades focales, entre las que destacan las Proposiciones 51 y 52 que permiten el trazado de estas cónicas mediante una composición de movimientos continuos y que sirven para definirlas de forma planimétrica como lugares geométricos:

«En una hipérbola la diferencia de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje transverso»,

«En una elipse la suma de distancias de cada punto a los focos es constante e igual al eje mayor».,

En el Libro IV se estudian los puntos de intersección de las cónicas. Destaca la Proposición 9 que exhibe un método de trazar dos tangentes a una cónica desde un punto.

El Libro V es una de las principales obras maestras de la Geometría griega. Está dedicado a los segmentos máximos y mínimos, es decir, a la distancia máxima y mínima de un punto a los de una cónica –las rectas normales–. En este Libro encontramos el germen de la teoría de evolutas y evolventes que figura en la obra de Huygens Horologium Oscilatorium de 1673. Al intuir el concepto de curvatura, Apolonio se sitúa en las raíces de la Geometría Diferencial. En las Proposiciones 51 y 52,mediante métodos puramente sintéticos, Apolonio obtiene la evoluta de las cónicas como lugar de los centros de curvatura, mediante la determinación del número de normales distintas desde cada punto. Por ejemplo, para la elipse y la hipérbola: (x²/b²)+ (y²/b²)=1,el brillante resultado equivale a describir de forma sintética las curvas que en el lenguaje de la Geometría Analítica tendrían por ecuación:

(ax)^2/3 ± (by)^2/3 = (a² ± b²)^2/3 , [ signo + para la elipse, signo – para la hipérbola].

En las proposiciones 55-63 Apolonio construye la normal a una cónica desde un punto exterior mediante la intersección de la cónica dada con una hipérbola equilátera, llamada Hipérbola de Apolonio asociada al punto.

El Libro VI está dedicado a la igualdad y semejanza de cónicas. Sobresalen en este Libro las Proposiciones 28, 29 y 30, donde se resuelve el problema de dados una cónica y un cono circular recto hallar una sección del cono que sea igual a la cónica dada.

El Libro VII relaciona numerosas propiedades de los diámetros conjugados entre las que sobresalen las de las Proposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de la suma en la elipse y la diferencia en la hipérbola de los cuadrados de los diámetros conjugados.