La influencia histórica de Apolonio. Coordenadas y Geometría Analítica

A lo largo de las páginas anteriores hemos visto las importantes y originales aportaciones de Apolonio al acervo geométrico griego, con su abundante producción científica, entre la que sobresale el exhaustivo y especializado trabajo sobre las cónicas donde estudia las propiedades fundamentales de todos los clásicos elementos notables de estas curvas: ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, tangentes y normales; y lo hace con una maestría y amplitud que sólo en los últimos siglos se pudo agregar algo nuevo a lo que el Gran Geómetra descubrió. Apolonio incluso oteó algunas teorías modernas del ámbito de la Geometría Proyectiva como la de la polaridad y la generación de las cónicas por dos haces proyectivos que habría de desarrollar Steiner (1796-1863), de forma rigurosa, veinte siglos más tarde. También con su aproximación a los conceptos de envoluta y evolvente, en relación con los centros de curvatura, así como los de involuta y envolvente, en conexión con el estudio de variación de las tangentes, Apolonio se acerca a la Geometría Diferencial.

Si en muchos ámbitos hay que conceder a Apolonio el valor de pionero, entre todos ellos hay que destacar su papel trascendental en el advenimiento de la Revolución científica a partir del Renacimiento. Así lo reconocen algunos sabios e historiadores de la ciencia:

F.Vera en la obra Breve Historia de la Geometría (Losada, Buenos Aires, 1963, cap. IV.5, p.70), escribe:

«Las investigaciones de Apolonio asumen una categoría cósmica cuya importancia se puso de manifiesto en el desarrollo de la mecánica celeste a lo largo del siglo XVII, pues sin la obra del geómetra de Perga, Kepler no habría descubierto las leyes de la dinámica planetaria ni Newton las de la gravitación universal».

También A.Koiré en Estudios de Historia del Pensamiento Científico (Siglo XXI, Madrid, 1971, cap.4, p.44), se expresa en términos parecidos:

«La meditación sobre los libros de Apolonio hará posible la revolución astronómica operada por Kepler».

Asimismo, B.Mandelbrot, en el artículo De Apolonio de Perga a Kepler (en Pensar la Matemática, Tusquets, Barcelona, 1984, cap.6, pp.115-116),viene a decir algo similar:

«Los griegos descubrieron las cónicas en estado salvaje en los conos o cilindros y Apolonio las cultivó como un mero juego de ingenio. ¿Cuál sería la sorpresa, quince siglos después, cuando Kepler descubrió que la trayectoria del planeta Marte es elíptica, y Galileo que la caída de las piedras es parabólica».

Otro rasgo de sutileza muy encomiable en Apolonio es su definitiva clasificación de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales, según que su solución exija,respectivamente, rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores. Se trata de una importante idea acerca de la elección de los instrumentos de solución adecuados, que viene a suponer una extensión de la glorificación platónica de la línea recta y el círculo de los problemas planos y que se traducirá más tarde en el estudio de la irreducibilidad de las ecuaciones a las que conducen los problemas geométricos. Es digno de recalcar que la idea de ajustar la categoría de los instrumentos geométricos a utilizar a la naturaleza de los problemas geométricos a resolver, en la línea de aplicar siempre los medios más simples posibles, será, no sólo un rasgo distintivo de las futuras Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes, sino un componente general de la mejor Matemática, ciencia en la que la elegancia y la economía en el razonamiento es un importante valor añadido.

Con lo que se acaba de decir, entramos en lo que quizá es el aspecto más relevante de la influencia de Apolonio en el ámbito estricto de la Matemática: su incidencia histórica sobre la emergencia de la Geometría Analítica. En el estudio de las cónicas, Apolonio considera ciertas líneas de referencia (diámetros conjugados o diámetro-tangente), que juegan un papel de coordenadas. En el segundo caso, al tomar un diámetro y una tangente en uno de sus extremos como rectas de referencia, las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir del punto de tangencia son las abscisas y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Para cada cónica, la conocida relación de áreas y longitudes en forma de proporción (propiedad geométrica de la curva equivalente a su definición como lugar geométrico) se traduce en una relación entre las abscisas y las correspondientes ordenadas, que Apolonio llamaba el Symptoma de la curva y que no es sino la expresión retórica de la ecuación analítica de la curva, que en su evolución histórica daría lugar a la llamada por Fermat en su Introducción a los Lugares Planos y Sólidos –su Geometría Analítica– la Ecuación característica o Propiedad específica de la curva. El lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus «métodos de coordenadas» guardan una gran similitud con los de la Geometría Analítica.

Al analizar la posición histórica de Apolonio en el camino hacia la Geometría Analítica digamos que, a pesar de los conceptos y elementos geométricos introducidos, que parecen emular la presencia de sistemas de referencia con coordenadas –abscisas y ordenadas– que permiten expresar las ecuaciones de las cónicas, estos sistemas de coordenadas aparecían siempre superpuestos a posteriori a las curvas para estudiar sus propiedades. En la Geometría griega, las coordenadas, variables y ecuaciones no eran elementos de partida, sino conceptos subsidiarios derivados de situaciones geométricas concretas de curvas que determinan las ecuaciones sin que se dé la situación inversa, es decir, que las ecuaciones determinen las curvas, ya que éstas siempre se producían mediante una construcción estereométrica como secciones de un sólido o de forma cinemática como composición de movimientos –tal es el caso de la Espiral de Arquímedes o la Cuadratriz de Dinostrato–, de forma que el conjunto de curvas manejadas por los griegos fue necesariamente muy limitado. Como manifiesta C.Boyer (Historia de la Matemática, Alianza, Madrid,1986, p.208):

«El hecho de que Apolonio, uno de los más grandes geómetras de la antigüedad, no consiguiese desarrollar de una manera efectiva la Geometría Analítica, se debe probablemente más a una pobreza en el número de curvas que de pensamiento; los métodos generales no son ni muy necesarios ni muy útiles cuando los problemas se refieren siempre a un número limitado de casos particulares. Por otra parte, es bien cierto que los primeros inventores de la Geometría Analítica tenían a su disposición todo el álgebra renacentista [el Álgebra de los cosistas italianos y el Álgebra simbólica de Vieta], mientras que Apolonio tuvo que trabajar con las herramientas del Álgebra Geométrica, mucho más rigurosa pero a la vez mucho más incómoda de manejar».

No obstante lo dicho y con todas las limitaciones apuntadas –carácter sintético de la Geometría griega, ausencia de un Álgebra simbólica en sentido algorítmico, ...–, debemos ponderar la magnífica obra de Apolonio, primer estadio en la Historia de la Matemática sobre la aplicación de coordenadas al estudio de las propiedades de las curvas; y aunque el discurso retórico sustituye al simbolismo y la construcción geométrica a las técnicas algebraicas, las relaciones de áreas y longitudes mediante las que Apolonio expresa las propiedades intrínsecas de la curva se traducen con gran facilidad (y así lo hará Fermat) al ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones que permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la verdadera esencia de la Geometría Analítica. Así pues, el trabajo de Apolonio –y antes el de Menecmo– inauguran una singladura histórica en una dirección que apunta hacia el desarrollo de las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes.

En resumen, El Análisis Geométrico griego de Apolonio utilizaba un equivalente de las coordenadas pero sólo empleaba Álgebra Geométrica. El Arte Analíticade Vieta desarrolla el Álgebra simbólica pero no usa coordenadas. Al aunar ambos instrumentos, coordenadas y Álgebra literal, Fermat y Descartes alumbran la Geometría Analítica estableciendo un puente para transitar entre la Geometría y el Álgebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones, a base de aplicar el Análisis algebraico de Vieta a los problemas de lugares geométricos de Apolonio, definidos, en un sistema de coordenadas, por una ecuación indeterminada en dos incógnitas, llamada la ecuación de la curva, expresión que al estar intrínsecamente vinculada a la curva,implícitamente resume sus propiedades geométricas, las cuales se ponen de manifiesto de forma palmaria mediante el cálculo algebraico.