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Escrito por Santiago Fernández Fernández (Berritzegune de Bilbao)   
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Bolyai, Janós (1802-1860)
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Al leer la carta, Farkas expresó el deseo de incluir inmediatamente en el Tentamen la teoría de su hijo, porque:

"si la cosa está realmente conseguida, es conveniente apresurarse a darla a la luz pública por dos motivos: primero, porque las ideas pasan fácilmente de uno a otro, que puede anticiparse a publicarlas; en segundo lugar, porque hay también algo de verdad en esto que muchas cosas tienen una época, en la cual son descubiertas al mismo tiempo en más lugares, precisamente como en primavera brotan las violetas en todas partes; y puesto que toda lucha científica es sólo una gran guerra, a la que no sé cuando seguirá la paz, se debe, cuando se puede, vencer puesto que aquí la victoria corresponde al primero"
Carta de Farkas Bolyai a su hijo

Janós Bolyai siguió trabajando con ahinco y, en 1826 presentó su trabajo a un profesor suyo de la Academia militar, llamado J. Walter von Eckwerh(1789-1857). Tres años más tarde remitió el manuscrito final a su padre, que no llegó a comprenderlo en su totalidad; sin embargo, intuía que tenía en sus manos una memoria científica de primer orden y la incluyó como apéndice del primer volumen del Tentamen. Inmediatamente remitió su libro, con el apéndice, a su amigo Gauss, pero parece que el trabajo de los Bolyai nunca llegó a su destino. Medio año más tarde(1832), Farkas volvió a remitir el trabajo de su hijo a Gauss, con el encargo de que lo leyera y si fuera posible le diera su opinión.

Gauss al leer el apéndice del Tentamen , escribió a un amigo:
“ ...considero que este joven geómetra es un genio de primer orden...”.

Al padre de Janós le escribió, seis semanas después de recibir el envío, en los siguientes términos

"Ahora, algunas palabras sobre el trabajo de tu hijo. Comienzo por decirte que no puedo alabarlo. Evidentemente, por un instante estarás sorprendido, pero no puedo proceder de otra forma, puesto que eso significaría ensalzar mis propios elogios. Todo el contenido de la obra de tu hijo, la vía que sigue, así como los resultados que ha obtenido, casi coinciden con aquellos que yo mismo he logrado hace unos 35 años. En realidad estoy sorprendido enormemente. Tenía la intención de no publicar nada de mi propio trabajo mientras estuviera vivo, por consiguiente, muy poca cosa he anotado en el papel. La mayor parte de la gente no tiene puntos de vista correctos acerca de las cuestiones de que se trata. He encontrado muy pocos que hayan manifestado un interés particular por lo que les he comunicado al respecto. Para estar en condiciones de asimilarlo es necesario, ante todo, sentir hondamente, de manera muy viva, lo que aquí falta en realidad; ahora bien, la mayor parte de la gente no lo comprende del todo. No obstante, me proponía, con el tiempo, exponer todo eso en el papel, con el fin de evitar, en todo caso, que dichas ideas mueran conmigo. Por lo tanto, me sorprende en exceso que me despojen de ese trabajo, y a la vez me siento muy feliz de que sea precisamente el hijo de mi viejo amigo quien me haya adelantado de tal excelente manera".
Carta de Gauss a Farkas Bolyai(1832)

Farkas, comunicó inmediatamente, por carta, a su hijo la respuesta de Gauss, añadiendo:

"La respuesta de Gauss respecto a tu obra redunda en honor de nuestra patria y de nuestra nación"
Farkas Bolyai

Sin embargo la misiva de Gauss produjo un efecto completamente distinto en el ánimo de J.Bolyai . Sus palabras fueron las siguientes:
"A juicio mío, y tal sería, de ello estoy persuadido, la opinión de cualquier persona imparcial, todos los argumentos y motivos invocados por Gauss para justificar la negativa de publicar (en vida) cualquier cosa sobre sus propios trabajos referentes a esta cuestión, son absolutamente inconsistentes. En efecto, tanto en la ciencia como en la vida corriente, es importante descifrar las cosas universalmente útiles, sobre todo si éstas aún no han sido aclaradas; despertar, por todos los medios, la conciencia insuficiente o incluso dormida, de la verdad y el derecho; esto es lo que precisamente hay que fortalecer y desarrollar. Son muy pocos los que tienen la facultad de dominar las matemáticas. Invocando ese pretexto, Gauss podría muy bien, para ser consecuente, guardar para sí una parte considerable de sus excelentes trabajos. El hecho de que desgraciadamente haya todavía entre los matemáticos, incluso entre los que son célebres, muchas personas superficiales, no puede servir de base para que continuemos- en el futuro, comunicando nada más que los resultados superficiales y dejando a la ciencia en el letargo, es decir, en el estado heredado. Tal actitud sería contranatural y absolutamente absurda. Estamos sorprendidos, de manera muy desagradable, por el hecho de que, en lugar de reconocer con franqueza y honestidad el gran valor del "Appendix " y el "Tentamen ", de expresar su alegría y simpatía, y de reflexionar acerca de los medios para preparar una larga vía a una empresa útil, Gauss trata de andar con rodeos y se apresura a pronunciar piadosos deseos y a emitir lamentos a propósito de la falta de instrucción de la gente. No en esto, ni mucho menos, consiste el sentido de la vida y el mérito verdadero".

Leyendo esta nota, uno se da cuenta del inmenso disgusto que tenía J.Bolyai. Por su cabeza pasaron multitud de pensamientos negativos, unos dirigidos hacia su padre, ya que sospechó inicialmente que le había comunicado varias de sus ideas al genial matemático alemán, y otros hacia Gauss por no aceptar deportivamente la prioridad del descubrimiento.

Contenido del Appendix

Las primeras reflexiones de J. Bolyai se encaminaron a construir una teoría absoluta de la geometría, esto es, aplicando el método deductivo de Euclides, pero sin decidir a priori la validez o no del quinto postulado.
En la primera carta escrita a su padre, el año 1823, ya le hace saber que ha descubierto una fórmula mediante la cual se puede obtener el ángulo de paralelismo? π(a) en función de una constante K. ( puede verse un referencia más amplia sobre el ángulo de paralelismo en la biografía de Lobachevski)

ecuación

La obra de Bolyai, en términos generales, es muy parecida a la escrita por el matemático ruso N. I. Lobachevski(1792-1856). Sus resultados más importantes son:
  • Definición de las paralelas y sus propiedades , independientes del quinto postulado euclídeo.
  • Definición absoluta del horiciclo y la horosfera.
  • Obtención de las fórmulas trigonométricas planas, en el caso no euclídeo.
  • Estudio de la geometría esférica, sin recurrir al postulado de Euclides.
  • Problemas resolubles en la geometría no euclídea, en particular obtiene un cuadrado equivalente a un círculo dado(cuadratura del círculo en el caso de la geometría no euclidea).
  • Demostración de que la geometría obtenida sobre la horosfera coincide con la geometría euclídea.
  • Demuestra la independencia de la trigonometría esférica del postulado de Euclides.

Appendix

Traducción húngara del Appendix

Appendix Traducción húngara del Appendix
En algunos aspectos su obra es más avanzada que la de Lobachevski. Por ejemplo, en el campo de la trigonometría esférica, obtiene más fórmulas que el sabio ruso, si bien la mayoría ya fueron conocidas y descritas por F.A.Taurinus(1794-1874).

La obra de J.Bolyai concluye de la siguiente manera:

“Queda finalmente por demostrar la imposibilidad de decidir a priori si existe la geometría euclideana u otra geometría distinta. Esto, sin embargo, queda reservado para mejor ocasión”.

A partir del año 1831, J. Bolyai se preocupó por perfeccionar y sacar más juego a su geometría, trataba de responder una serie de cuestiones que aún estaban sin resolver. Una de las cuestiones era la siguiente:

¿Se puede demostrar rigurosamente que el quinto postulado no es consecuencia de los otros cuatro?
Durante algunos años más, Janós siguió trabajando en su geometría absoluta, pero en 1841 llegó a sus manos un libro titulado Geometrische Untersuchungen de un matemático desconocido, para él, llamado Lobachevski. El impacto intelectual al leer el pequeño tratado escrito por el matemático ruso, debió ser enorme. Al principio pensó que el tal Lobachevski no era un personaje real, incluso piensa que detrás del trabajo puede estar el mismísimo Gauss. Posteriormente reconoce que la obra ha tenido que ser escrita por un genio, calificándola de obra maestra. Se da cuenta que la obra de Lobachevski es similar a la suya, y posiblemente esté decepcionado al leer la introducción, en la que el matemático ruso hace referencia a que la publicación de la obra hace referencia a una memoria publicada el año 1828, esto es tres años antes de la publicación de su Appendix.
Además de su obra sobre geometría, Janós Bolyai, desarrolló un riguroso concepto geométrico de números complejos como pares ordenados de números reales. Este es un trabajo que no está publicado, pero que se ha podido constatar a raíz de las investigaciones realizadas con sus manuscritos matemáticos, depositados en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures.
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Estatua dedicada a los Bolyai
 

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