Portada de Recherches sur les courbes à double coubure (1731)

Ese mismo año, y con sólo quince años de edad, su hermano menor, del que se desconoce el nombre, publicó la obra Tratado de cuadraturas circulares e hiperbólicas. El historiador Montucla opina que poseía todo el talento necesario para seguir las huellas de su hermano Alexis, pero este genio precoz murió prematuramente de viruela en 1732.

Clairaut publicó varios e importantes trabajos durante la década 1733-1743. En 1733 publicó Sur quelques questions de maximis et minimis, un trabajo sobre cálculo de variaciones escrito en el estilo de Johann Bernoulli, y el mismo año publicó sobre las geodésicas de las cuádricas de rotación. Otros campos de interés fueron las ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en derivadas parciales, la teoría de superficies, el cálculo en varias variables y las series trigonométricas. Por lo que respecta a las ecuaciones diferenciales, en 1734, Clairaut se interesó por una ecuación que actualmente lleva su nombre:
cuya solución general consiste en una familia de líneas rectas. La ecuación de Clairaut posee también una solución singular, siendo una de las primeras veces en la historia que este tipo de solución se pone de relieve.

En 1735, Clairaut colaboró con la Academia de Ciencias cuando ésta se decidió a determinar “la forma de la Tierra”. Se trataba de saber si la Tierra estaba achatada por los polos, como predecía la teoría de Newton, o por el contrario estaba alargada a lo largo del eje, como afirmaban los Cassini, a partir de sus mediciones geodésicas en Francia. En efecto, Isaac Newton (1642-1727) había determinado de manera teórica que el radio ecuatorial de la Tierra era 1/230 más largo que el radio polar. Un método consistía en medir la longitud de arco de 1º de latitud cerca del ecuador y cerca del polo. De otra parte, Jean-Dominique Cassini (1625-1712) y su hijo Jacques Cassini (1677-1756) habían efectuado una medición en 1712 y su resultado reveló que el diámetro que unía los dos polos era 1/95 más largo que el diámetro ecuatorial, lo que contradecía el resul-tado teórico de Newton. La Academia de Ciencias organizó entonces dos expediciones, una a Laponia (1736-1737), bajo la dirección de Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), y otra a Perú (1735-1744). Clairaut acompañó a Maupertuis a Laponia y las mediciones efectuadas en las dos expediciones confirmaron que la Tierra estaba ach-atada en los polos. De esta forma la teoría de Newton triunfó y el debate entre newtonianos y cassinianos quedó, temporalmente, zanjado. Sin embargo, no sería hasta el siglo XX cuando se conocería la respuesta definitiva a la forma de la Tierra.

En 1739 y 1740, Clairaut publicó más trabajos sobre el cálculo integral, en particular sobre la existencia de factores integrantes para la resolver ecuaciones diferenciales de primer orden (un tema que interesó también a Johann Bernoulli y Reyneau). Concretamente, en 1740 publica su obra Sobre la integración o la construcción de las ecuaciones diferenciales de primer orden, donde introduce, independientemente de Leonhard Euler (1707-1783), el uso del factor integrante.

Un año después, en 1741, publica una de sus principales obras, Elementos de geometría, dirigida especialmente para principiantes y escrito con un estilo muy simple y didáctico. En el prólogo de dicho libro pueden encontrarse las siguientes palabras: “No es admisible comenzar el estudio de la geometría desde lo más abstracto, es decir: punto, recta, plano. Quien comienza debe partir de lo concreto a lo abstracto. Con un comienzo abstracto el novicio se alejará para siempre de las matemáticas”.