Su obra

Sus primeros trabajos en Teoría de Números los conocemos a través de su correspondencia con Gauss. Entre 1804 y 1809 Sophie escribió a Gauss una decena de cartas en las que le comentaba sus investigaciones. Las primeras estaban firmadas con el pseudónimo Le Blanc. En 1819 se reanudó esta correspondencia.

En noviembre de 1804 está fechada la primera carta. Gauss, en su respuesta, admira la elegancia de una de sus demostraciones^IV. En 1808 comunicó a Gauss su más brillante descubrimiento en Teoría de Números. Demostraba que si x, y, z son números enteros, tales que x⁵+y⁵+z⁵=0 entonces, al menos uno de los números x, y o z debe ser divisible por 5. Más tarde generalizó este resultado en el teorema que hoy lleva su nombre.

El Teorema de Germain [21] constituyó un paso importante para demostrar el último teorema de Fermat [20]. De hecho a partir de entonces la demostración se dividió en dos casos: el primero consistía en probarlo cuando ninguno de los números x, y, z es divisible por n, y el segundo cuando uno sólo de los tres números es divisible por n. Además con esta clasificación el primer caso del Teorema de Fermat para n =5 quedaba probado. En 1825 Legendre y Dirichlet completaron la demostración para n = 5 en el segundo caso.

El teorema de Sophie Germain [16] demuestra que si n es un número primo tal que 2n +1 es primo, entonces el primer caso del teorema de Fermat es verdadero. El trabajo se había simplificado a la mitad. El teorema de Germain será el resultado más importante^V relacionado con la conjetura de Fermat desde 1738 hasta la obra de Ernst Eduard Kummer (1810-1893) en 1840. En Teoría de Números se dice que un número natural es un número primo de Germain [17], si el número n es primo y 2n+1 también lo es. Los números primos de Sophie Germain [23] inferiores a 200, son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191.

Posteriormente, hacia 1819, Sophie retomó sus trabajos en Teoría de Números. De esta época es otro de los resultados de Sophie. Utilizando adecuadamente su teorema conseguía demostrar que para todo número primo n menor que 100 (y por lo tanto para todo número menor que 100) no existe solución a la ecuación de Fermat, cuando los números x, y, z no son divisibles por n. Legendre seguirá su demostración para números primos n menores que 197.

Sus investigaciones en teoría de la elasticidad comienzan a partir de 1809 cuando la Academia de Ciencias de París propone como tema, para obtener el premio extraordinario de la Academia: “Donner la théorie mathématique des surfaces élastiques et la comparer à l'expérience”. Pierre Simon Laplace (1749-1827) que organizó este concurso esperaba poder establecer la reputación de su protegido Siméon Denis Poisson^VIII (1781-1840). Pero Poisson no participó.

Primera página de su primera memoria

Descubrir las ecuaciones diferenciales de las superficies vibrantes parecía demasiado difícil a los ojos de la mayor parte de los matemáticos. A pesar de las lagunas de su formación, o quizás por ello, Sophie fue la única concursante. Lo tomó como un reto, y el 21 de septiembre de 1811 presentó una memoria a la Academia, pero su trabajo fue considerado incompleto e incorrecto, y el jurado decidió posponer dos años más el premio. Lagrange corrigió el análisis matemático y obtuvo, a partir de la hipótesis de Sophie, la base para describir el comportamiento estático y dinámico de las placas en puntos del interior. De este trabajo sólo se conoce la ecuación final en una nota^IX de ocho líneas.

En esta memoria y por analogía con los trabajos de Euler en el caso unidimensional de la cuerda vibrante, Sophie postula que “en un punto de la superficie la fuerza de elasticidad es proporcional a la suma de las curvaturas principales de la superficie en dicho punto”, que es lo que siempre llamará “mi hipótesis”. A partir de una supuesta relación de equilibrio y utilizando varias hipótesis sobre los desplazamientos y rotaciones de la placa obtenía una ecuación en derivadas parciales de sexto orden en la que buscaba soluciones regulares, en casos particulares, mediante series trigonométricas.

Aunque, en efecto, varios puntos de su trabajo son discutibles, la idea de que la suma de las curvaturas principales en una superficie tiene el mismo papel que la curvatura en el caso unidimensional de la cuerda vibrante es original. Además Sophie no se desalentó sino que, animada de que Lagrange hubiera utilizado con éxito su idea, siguió trabajando con el objetivo de justificar su hipótesis con consideraciones geométricas sobre la deformación de un plano y comparando sus cálculos con las experiencias de Chladni y con otras muchas que realizó ella misma. En 1813 presentó la segunda memoria, por la que obtuvo una mención de honor ya que sus deducciones teóricas explicaban los resultados experimentales.

En 1814 Poisson redactó un trabajo sobre el mismo asunto que leyó el día 1 de agosto de ese mismo año, ante los componentes de la Primera Clase del Instituto de Francia, de la que formaba parte. Comenzó criticando el enfoque de los trabajos anteriores sobre este tema de Leonhard Euler, Jacques Bernouilli y por último de la memoria anónima que el año anterior había recibido una mención de honor. Poisson era discípulo de Laplace y compartía con él la teoría “molecular” que intentaba explicar todos los fenómenos físicos con el modelo de la física newtoniana, es decir, por un conjunto de fuerzas atractivas o repulsivas. Desde este punto de vista, considerando el equilibrio de una sola molécula de la superficie elástica, obtuvo una ecuación, horrible, no lineal y además falsa, que por simplificaciones “milagrosas”^X se convertía en la ecuación de la segunda memoria de Sophie que, en ese momento, había ganado credibilidad. No la publicó, supuestamente, para no influir en el concurso que había sido convocado de nuevo, pero apareció un resumen de la misma en el “Bulletin de la Societé Philomatique” y en la “Correspondence de l'Ecole Polytecnique”. Sophie, que no tuvo acceso a ella y sólo pudo leer dicho resumen, en un principio se desalentó pero, más tarde, saber que Poisson había llegado a la misma ecuación que ella, le animó a continuar sus investigaciones y presentó otro estudio en 1815.

Este tercer trabajo: “Mémoire sur les Vibrations des Surfaces Élastiques”, por el que se le concedió, al fin, el premio extraordinario de la Academia, suponía una defensa de la legitimidad de su hipótesis a la vez que un ataque al modelo laplaciano y a la teoría molecular. También, en ella, se proponía matematizar el concepto de forma de una superficie y el de deformación. Planteaba que, considerando en un punto dado, la suma de las curvaturas relativas a todas las curvas producidas por las diferentes secciones de la superficie que pasan por la normal se obtendría una expresión que matematizaba la forma de la superficie en un punto. Por lo tanto estaba proponiendo, implícitamente, un procedimiento integral para definir la curvatura en el espacio... Además establecía que esta suma infinita se reducía a las dos curvaturas principales, es decir, las curvaturas máxima y mínima [4].

En 1821 la publicó, por cuenta propia, con el título “Recherches sur la théorie des surfaces élastiques” [8] posiblemente con objeto de pasar a la posteridad, que ningún colega se apropiara de sus investigaciones, o a causa de su rivalidad^XI con Poisson, que en su trabajo de 1814 había utilizado los resultados de su segunda memoria.

En 1826 publicó “Remarques ...” [9] y en 1828 “Examen des Principes …” [10]. En estas dos memorias sus objetivos son, además de una intervención implícita en la polémica^XII suscitada entre Poisson y Navier sobre la teoría de la elasticidad, replantear su trabajo y, sobre todo, su enfoque, radicalmente opuesto al paradigma molecular y en particular al de Poisson.

Durante los sucesos revolucionarios que tuvieron lugar en París en julio de 1830, Sophie volvió a refugiarse en el estudio. Redactó dos trabajos, uno sobre teoría de números “Notes sur la manière dont se composent les valeurs de y et z dans la équation...” y otro sobre elasticidad en el que buscaba definir una teoría dinámica de la curvatura: “Mémoire sur la courbure des surfaces” donde introdujo el concepto de curvatura media como la semisuma de las curvaturas principales. Estas dos memorias fueron publicadas en 1831, después de su muerte, en el Crelle's Journal. Una vez más su camino se cruzó con el de Gauss que acababa de publicar una teoría matemática de la curvatura en la que definía lo que hoy se conoce por curvatura gaussiana como el producto de las curvaturas principales.

Además de trabajar en matemáticas y física, Sophie se interesaba por la filosofía, química, historia y geografía. Su ensayo filosófico “Considérations générales sur l'état des Sciences y des Lettres aux différentes époques de leur culture” [11] fue publicado en 1833, después de su muerte. Una de sus ideas originales fue identificar los procesos intelectuales de las “Ciencias” y las “Letras” e incluso de todas las actividades humanas. Pero esta semejanza no es la parte más importante de la obra que pasa a un segundo plano frente a consideraciones mucho más profundas sobre el recorrido histórico, el carácter y la naturaleza de la Ciencia. El concepto clave que unifica el texto es la “analogía” que permite ordenar y encontrar las leyes del universo. Esta obra fue elogiada por Augusto Comte en su “Cours de philosophie positive” y por M. Ravaison en su “Rapport sur la philosophie en France au XIX siècle”.

En 1824 había presentado a la Academia una memoria. Poisson, Laplace y el barón de Prony eran los encargados de evaluarla. Dicho informe no se hizo nunca. La “Mémoire sur l’emploi de l’épaisseur dans la théorie des surfaces élastiques” permaneció entre las posesiones de Prony. Cuando en 1879 se publicó “Sophie Germain: Oeuvres philosophiques”^XIII [11] se despertó de nuevo el interés por esta mujer y se recuperó dicha memoria que fue publicada en 1880 [2].