El teorema de Cauchy-Kovalévskaya [16],[9] formaba parte del trabajo por el que obtuvo el doctorado. Fue publicado en Crelle´s Journal. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas. En 1842 Cauchy había demostrado la existencia de solución de una ecuación en derivadas parciales lineales de primer orden. En la misma época, Weierstrass, que no conocía los trabajos de Cauchy, demostró la existencia y "unicidad" de la solución para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y propone a Sonia extender estos resultados a un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Este teorema, elaborado independientemente del de Cauchy, generaliza sus resultados y establece unas demostraciones tan simples, completas y elegantes que son las que se exponen en la actualidad en los libros de Análisis.

Su trabajo sobre funciones abelianas fue otro de los que presentó para su tesis. Su investigación en este campo trataba del estudio de los casos en los que las funciones abelianas² pueden reducirse a integrales elípticas y fue publicado en el Acta Mathematica. Las funciones abelianas eran uno de los temas de investigación más importantes del siglo XIX, Legendre las clasificó, Abel y Jacobi de manera independiente obtuvieron los principales resultados respecto a estas funciones. Riemann y Weierstrass resolvieron simultáneamente el problema general de la inversión de estas integrales. Sonia estudió los casos en los que las integrales abelianas de tercer orden pueden reducirse a integrales elípticas, aunque no era un problema de la parte central de la teoría, su logro más importante fue el hecho de reemplazar un criterio trascendente por uno algebraico. Además su especialización en este campo contribuyó favorablemente al reconocimiento que tuvo Sonia entre los matemáticos de la época.

Otra de las memorias presentadas para obtener el doctorado trataba de la forma y estabilidad de los anillos de Saturno, publicada en la revista de Astronomía Astronomische Nachrichten en 1885. Laplace (1799), en su tratado de Mecánica Celeste, había formulado las condiciones de equilibrio de fuerzas, suponiendo que los anillos eran fluidos, de sección elíptica y hacía varias aproximaciones en el cálculo del potencial del anillo. Sin embargo Maxwell (1859) había mostrado que era muy improbable que el anillo pudiera tener cualquier estructura continua, como el trabajo de Laplace había postulado. Sonia abandonó la hipótesis de elipticidad y, utilizando un desarrollo en serie de Fourier, resolvió un sistema con infinitas variables por el método de aproximaciones sucesivas. En un artículo que publicó comentaba que los últimos trabajos de Maxwell hacían poco aceptable la hipótesis de la estructura líquida de los anillos y que éstos estaban formados por partículas de hielo y rocas, como posteriormente se demostró. Muchos autores han comentado que el resultado más importante de Kovalévskaya sobre los anillos de Saturno fue determinar su forma oval. Otros [2] opinan que lo más significativo de su trabajo fue plantear dos problemas importantes en matemática aplicada como son el análisis de errores y la estabilidad, además de proponer, de manera heurística, técnicas para resolver ecuaciones integrales, que fueron desarrolladas de forma rigurosa por Hammerstein en 1930.

Sus investigaciones sobre la propagación de la luz en un medio cristalino, [10] fueron una propuesta de Weierstrass que la orientó a determinar las soluciones de las ecuaciones de Lamé. Éste era un problema de Física en la época de Fressnel; Gabriel Lamé, en 1866, lo había convertido en matemático, pero para determinar la solución tuvo que recurrir a la hipótesis de la existencia de éter rodeando la materia que vibra. Sonia en su trabajo prescinde de esta hipótesis.

Otro resultado sobre ecuaciones en derivadas parciales fue una demostración simplificada del teorema de Burns [12] publicada después de su muerte en el Acta Mathematica. En esta demostración utilizaba una parametrización de una superficie para obtener una ecuación a la que podía aplicar el teorema de Cauchy-Kovalévskaya y obtener fácilmente la solución.

Posiblemente la investigación más importante fue la que realizó sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo [16], [11] por la que recibió el Premio Bordin de la Academia de Ciencias de París y más tarde el premio de la Academia de Ciencias de Suecia. Ambos trabajos fueron publicados en el Acta Mathematica. Una de las aplicaciones más importantes de la mecánica newtoniana es el estudio del movimiento de un cuerpo. Leonhard Euler (1758) había resuelto el problema cuando el punto respecto al que gira es el centro de gravedad. J. L. Lagrange (1811-1815), el de un cuerpo de revolución que gira alrededor de un eje. Pero estaba sin resolver el caso general. La Academia de Ciencias de Prusia había propuesto este problema para un concurso los años 1855 y 1858, pero nadie se había presentado. Sonia resolvió de forma analítica las ecuaciones del movimiento. Planteó un sistema de seis ecuaciones diferenciales, consideró el tiempo como una variable compleja y analizó los casos en los que las seis funciones implicadas, las tres componentes del vector velocidad angular y las tres del vector unitario vertical (aceleración de la gravedad), eran funciones meromorfas del tiempo, con este planteamiento los movimientos estudiados por Euler y Lagrange eran casos particulares, además encontró un tercer caso y lo estudió. Con ello este problema quedaba analíticamente resuelto.

Su libro autobiográfico “Recuerdos de la infancia”, [3], [13] un relato que nos narra las vivencias y los sentimientos de su niñez, además de describir los problemas y los ideales de la sociedad rusa en la segunda mitad del siglo XIX, fue traducido al sueco y publicado con el título Las hermanas Rajevsky. Sonia formó con su amiga Anne-Charlotte Leffler, hermana de Mittag, una sociedad literaria que firmaba con el pseudónimo Korvin-Leffler. El primer resultado de esa colaboración fue una obra de teatro "La lucha por la felicidad" que se publicó en 1887. Cuando Sonia murió, Anne escribió su biografía [3], [15]. Su novela póstuma "Vera Barantsova", que contaba la historia de una joven mártir revolucionaria, fue publicada en Suecia (1892) por sus amigos a partir de sus manuscritos no revisados y en Rusia (1906) con el título "Una nihilista"[14].

Su dedicación simultánea a las investigaciones matemáticas y a la literatura causó un cierto desconcierto en muchas de las personas de su alrededor. En una carta escrita por Sonia [3] comentaba que no era nada extraño, ya que tanto el poeta como el matemático deben ser capaces de profundizar en la realidad y de esta forma ver lo que los demás no ven. Además la Matemática, para ella, era la Ciencia que exigía más imaginación.