Platón matematiza toda la realidad, pero no sólo la realidad física, sino también la esfera espiritual –lo moral, lo estético, lo político, etc.– en un ambicioso proyecto que quiere abarcar la globalidad de la naturaleza y del ser humano –las estructuras matemáticas gobiernan no sólo «la naturaleza del alma humana», sino también «la naturaleza del alma del mundo» (Timeo, 34b–36d)–. Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios siempre hace Geometría» –frase atribuida a Platón por Plutarco. Con Platón la Geometría se convierte en un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el sentir de toda la cultura griega.

Platón nace en el año 427 a.C. en el seno de una familia vinculada con la vieja nobleza de Atenas. A los veinte años se hizo discípulo de Sócrates, filósofo de la Mayéutica, con quien convivió ocho años hasta su condena en 399. A la muerte de Sócrates, Platón se refugia en Megara en casa del filósofo Euclides –que interviene al comienzo del Dialogo sobre la Ciencia, el Teeteto–, y al que secularmente se le ha confundido con el autor de los Elementos, y empieza a escribir. Durante los diez años siguientes, con un inefable arte literario, Platón redacta los primeros Diálogos en los que trasmite la enseñanza socrática. Al advertir las limitaciones de la Filosofía de su maestro, empieza a buscar elementos más sólidos sobre los que basar una Filosofía más positiva y los encuentra en la Matemática en general y en el Pitagorismo en particular.

Con estas intenciones, Platón viaja a Cirene, y escucha las lecciones del gran geómetra Teodoro, a quien considera uno de sus maestros –que intervendrá también en el Teeteto–; y más tarde se traslada a Tarento, en Italia, donde se impregna de las doctrinas pitagóricas a través de la exposición programática del pitagorismo que había escrito Filolao y del magisterio de Arquitas, científico eminente, brillante político y legislador, que al establecer el antecedente del Cuadrivium medieval –Aritmética, Geometría, Música y Astronomía–, enfatizó la relevancia que tiene la Matemática en la Educación. Como geómetra, Arquitas fue pionero en la valoración del estudio de la Geometría tridimensional, querencia heredada por Platón (República, 528b). Aunque quizá su mayor contribución a la Matemática fue su influencia sobre Platón y el haberle salvado la vida, intercediendo por él ante el tirano Dionisio. En sus estancias en Italia, Platón se empapa de las tesis pitagóricas –inmortalidad y transmigración de las almas; la estructuración, descripción e interpretación del universo en términos de entidades matemáticas; los estrechos vínculos recíprocos entre Matemática y Filosofía; el entusiasmo místico de la pasión por el conocimiento matemático como forma de vida filosófica articulada en una comunidad, etc.–.

A su regreso a Atenas, Platón escribe otros Diálogos, en los que en boca de Sócrates, expone ya no sólo doctrina socrática, sino también pitagórica, que evoluciona hacia temas platónicos originales. Así sucede en el Gorgias, y sobre todo en el Menón en el que describe con argumentos geométricos vinculados al problema de la Duplicación del cuadrado y a la Inconmensurabilidad (82b-85b), nociones pitagóricas sobre la inmortalidad y la transmigración de las almas, enlazadas con la teoría socrático-platónica de la reminiscencia.

La Academia es fundada por Platón el año 387 a.C. inspirada en la comunidad pitagórica e imbuida por la idea de buscar el Bien y la Verdad a través del conocimiento matemático y filosófico. No obstante, la Academia desarrolló una gran libertad intelectual, antagónica al esotérico dogmatismo de los pitagóricos. Con su fundación, Platón crea el centro más importante de irradiación matemática y filosófica de la Antigüedad. Por los escritos de Platón, podemos inferir que una finalidad de la Academia como institución pudo ser la sólida formación intelectual de un grupo de personas, una especie de tecnócratas ilustrados –valga el anacronismo–, muy bien preparados para poder sustituir a la clase política ateniense. Platón hablará a lo largo de la República de la formación del flósofo-gobernante con la sagrada misión de mejorar al ciudadano mediante una política basada en el conocimiento supremo dialéctico de los paradigmas eternos del Bien y la Justicia, a los que se asciende, según la tradición pitagórica, a través de un largo entrenamiento en el pensamiento abstracto, exacto y deductivo, vinculado a las ciencias matemáticas que son el fundamento de todo el saber humano.. Así pues, buena parte de los estudios y campos de investigación de la Academia tendrían que ver con las cuatro materias del Cuadrivium de Arquitas tal como se presenta en el Libro VII de la República: Aritmética (525a–526c), Geometría (526d–528b), Astronomía (528e–530c) y Música (530d–531c), todas ellas disciplinas matemáticas que constituían una propedéutica necesaria a la ciencia suprema de la Dialéctica. En la Academia se desarrollaba la actividad intelectual en coloquios, debates y conversaciones dirigidos por un moderador, y también en lecciones magistrales, en las que impartía doctrina el propio Platón y sus ayudantes profesores de Matemáticas. La celebre frase de ingreso en la Academia –No entre nadie ignorante en Geometría– es un epígrafe emblemático del pensamiento y el espíritu platónicos que expresa de forma palmaria el programa que Platón llevaba a cabo en la Academia, tal como lo ratifican numerosos pasajes de la República.

La Academia se convirtió en un importante foro de discusión y controversia sobre los problemas filosóficos, científicos y matemáticos, donde se integraban los propios descubrimientos e investigaciones de la propia Academia, las especulaciones de la Filosofía física jónica, las doctrinas de Pitágoras y Parménides e incluso las concepciones atomistas de Leucipo y Demócrito. El propio Platón, como líder indiscutible, marcó el tono y el carácter eminentemente académicos en sentido moderno, fomentando la enseñanza de los aspirantes y el debate entre los iniciados. La decisiva autoridad de Platón sobre la Academia no pudo tener lugar a través de sus escritos, realizados a lo largo de toda su vida, sino por sus lecciones orales, conversaciones y reflexiones, no sólo por la vivacidad y actualidad del debate sino porque el propio Platón daba mucha más importancia a la palabra hablada que a la escrita, como él mismo subraya en el Diálogo Fedro. Muchas de las reflexiones de Platón, que conocemos a través del testimonio de su gran discípulo Aristóteles, son un complemento imprescindible para la intelección de la doctrina platónica.La

El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas, pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía platónica. La Teoría platónica de las Ideas o las Formas proviene de una convergencia y síntesis muy coherente de la cosmovisión panmatemática pitagórica, de la radical distinción entre lo sensible y lo inteligible de Parménides, y de la preocupación socrática por la definición y el concepto, verdadero antecedente de la idea y la forma platónica. Es justamente en el terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón. Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras –un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede ser aprehendido mediante la razón.

La Teoría de las Ideas tiene su origen en las formas geométricas pero no se limita a ellas. Es más, la pretensión de Platón es alcanzar en su idealismo a todo el campo de la Moral. Si en nuestro mundo no hay nada que sea absolutamente circular, tampoco hallamos nada absolutamente bueno o justo. Y si la objetividad de la Geometría obliga a postular la existencia de la forma perfecta de círculo inteligible, separada del objeto circular sensible que se aproxima o se parece a la forma ideal, así también la necesidad de salvaguardar la objetividad de la Moral obliga a postular la existencia de las formas ideales y perfectas del Bien y de la Justicia, separadas de la personas e instituciones terrenales que deben aproximarse a ellas. Las ideas o formas tienen mayor entidad que los objetos del mundo físico tanto por su perfección, eternidad e inmutabilidad, como por el hecho de ser modelos canónicos que conceden a los objetos sensibles lo que tienen de realidad. Cada cosa es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. Las ideas o formas platónicas son paradigmas de las que las cosas sensibles son imitaciones. Las formas geométricas circular, cuadrada y triangular, etc., son excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que podemos contemplar en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo porque imita, se parece (“participa de” en palabras de Platón) a la idea de círculo, cuadrado o triángulo. La cosa participa de la idea y, por esa participación, es semejante a ella; la idea es, pues, una realidad superior presente en la cosa y al mis­mo tiempo original o arquetipo. De estas cuestiones escribe Platón en diversos pasajes del Filebo (25a), la República (476a–476d), el Fedón (100a, 101c), etc. La Teoría de las Ideas está muy dispersada a lo largo del texto de estos Diálogos y de otros como el Menón, el Fedro y el Banquete, e incluso para su conocimiento completo debemos acudir a Aristóteles, sobre todo los capítulos 6 (987b) y 9 (990a) del Libro I de la Metafísica de Aristóteles.

Volumen primero de las obras completas de Platón en griego antiguo y latín, edición de 1856, Ed. A. Firmin-Didot, Paris.

Por herencia pitagórica, para Platón los conceptos de la Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):

Por ello, para Platón, la Matemática debe ser independiente de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar liberada intelectualmente de todo instrumento material –que son elementos corruptores y degradantes–, como señala Plutarco en sus Vidas Paralelas (Vida de Marcelo), cuando nos habla de la indignación de Platón ante el uso de artificios mecánicos en la Geometría:

El mismo Platón señala una y otra vez en la República que la Geometría no debe tener otra finalidad que el conocimiento en sí mismo. Así lo proclama en 526e–527b:

Platón describe también, con su inveterado idealismo, la misión de la Aritmética como ciencia para escapar del ámbito sensible y elevar el alma hacia lo abstracto (525d–526c):

Tan importante considera Platón el adiestramiento en estas ciencias en la formación del filósofo que prescribe se deben imponer en la instrucción por imperativo legal (525b–525d):

De esta visión platónica idealista podría derivar la distinción entre Aritmética y Geometría como factores espirituales de elevación hacia la Filosofía y Logística y Geodesia como instrumentos materiales y utilitarios de los artesanos y técnicos. Como consecuencia de ello, pudo haber sido Platón el responsable de la restricción en las construcciones geométricas griegas a aquellas que pueden realizarse sólo con regla y compás.