Aunque parece ser que su padre se habría trasladado a Madrid en 1906, no se conoce rastro de la actividad de Barinaga hasta ser citado entre 1911 y 1915 como alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid en las páginas de la Revista de la Sociedad Matemática Española, donde muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales sin que ello determine el encauzamiento académico de su actividad matemática. Aunque se desconocen sus motivos y circunstancias, se atribuye a la creciente dedicación a la enseñanza privada del joven Barinaga –que a la sazón acaso fuera brillante, pero desde luego ya no era, ni mucho menos, precoz– el hecho de que la obtención de su licenciatura matemática –ahora ya con excelente expediente– se dilatara hasta ¡1926! –se dice que por el personal empeño de Luis Octavio de Toledo–. Seguidamente cursa el doctorado y en 1929 defiende su tesis y gana el primer premio extraordinario de doctorado¹.

Ahora sí que su carrera matemática estaba encarrilada: en 1927 es nombrado, tras los correspondientes ejercicios, auxiliar de Análisis Matemático 2º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 gana la Cátedra de Análisis Matemático 1º y 2º cursos de la Universidad de Barcelona –a la que también concurría José Mª Orts, entonces catedrático de Análisis de la Universidad de Santiago–, en 1931 gana la cátedra de Análisis Matemático 1º de la Universidad Central de Madrid dejada vacante por la jubilación de Luis Octavio de Toledo.