67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO - Página 2: Solución |
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Este es un problema muy conocido y que suele aparecer de vez en cuando en libros relacionados con el tema que nos ocupa. .a) En el primer apartado nos piden que calculemos el número de azulejos totales, cuando la anchura es 7. Al no ser demasiados los podemos contar uno a uno, pero nos interesa utilizar algún método más inteligente. Si nos fijamos, el número total de azulejos es igual a : S = 1+3+5+7+5+3+1. Si nos damos cuenta la suma se compone de números impares. La suma S, también podemos ponerla de la siguiente manera: S =2(1+3+5)+7. Pero la suma consecutiva de números impares, comenzando desde el 1, coincide con un número cuadrado, como fácilmente se puede ver en el siguiente dibujo.  Por tanto S = 2(3.3)+7 = 25 azulejos b) Si la anchura es de 149 azulejos se puede razonar de una manera similar, para así obtener la siguiente suma: T = 2(1+3+5+...+147)+149 = 2(74.74)+149=11.101 azulejos c) Para generalizar el problema, únicamente tenemos que tener un poco de cuidado. La cantidad total de azulejos, en el caso de anchura n, suponemos naturalmente que n es un número impar(n =2m+1), será: M =2(1+3+5+....+2m-1)+2m+1 =...... haciendo cuentas y deshaciendo el cambio de variable , llegamos a que el número total de azulejos, en el caso de n azulejos de anchura, es igual a :  |
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