67. LOS AZULEJOS EN EL INSTITUTO |
Este es un problema muy conocido y que suele aparecer de vez en cuando en libros relacionados con el tema que nos ocupa. . a) En el primer apartado nos piden que calculemos el número de azulejos totales, cuando la anchura es 7. Al no ser demasiados los podemos contar uno a uno, pero nos interesa utilizar algún método más inteligente. Si nos fijamos, el número total de azulejos es igual a : S = 1+3+5+7+5+3+1. Si nos damos cuenta la suma se compone de números impares. La suma S, también podemos ponerla de la siguiente manera: S =2(1+3+5)+7. Pero la suma consecutiva de números impares, comenzando desde el 1, coincide con un número cuadrado, como fácilmente se puede ver en el siguiente dibujo. Por tanto S = 2(3.3)+7 = 25 azulejos b) Si la anchura es de 149 azulejos se puede razonar de una manera similar, para así obtener la siguiente suma: T = 2(1+3+5+...+147)+149 = 2(74.74)+149=11.101 azulejos c) Para generalizar el problema, únicamente tenemos que tener un poco de cuidado. La cantidad total de azulejos, en el caso de anchura n, suponemos naturalmente que n es un número impar(n =2m+1), será: M =2(1+3+5+....+2m-1)+2m+1 =...... haciendo cuentas y deshaciendo el cambio de variable , llegamos a que el número total de azulejos, en el caso de n azulejos de anchura, es igual a : |
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