106. LOS BILLETES |
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Se sabe que exactamente la mitad de los billetes tienen el dígito 1 en ellos. Sabiendo que n es un número de tres dígitos, determina todos los posibles valores de n. Empezamos contando los números menores que 100 que contienen en sus cifras el dígito 1. Entre los números de un sólo dígito, únicamente tenemos al 1. Entre los números de dos dígitos, realizamos un recuento por partes: del 10 al 19, contienen 10 números..Entre los números del 20 al 99 hay otros 8 números que contienen al 1. Por tanto hay un total de 19 números menores que 100 que contienen al 1. Ahora analizamos los números del 100 al 199; evidentemente, todos contienen al uno, es decir, hay 100 números que contienen al 1. De 200 a 299, tenemos el mismo escenario que para los números del 1 al 99; es decir, hay 19 números que contienen 1. Un estudio análogo nos permite concluir que para los números comprendidos entre 300 y 399, 400 y 499,: : :, 900 y 999, hay exactamente 19 números contienen al 1. Realicemos ahora el estudio del problema. Sea T el número de billetes que tienen al 1. Queremos encontrar los valores de n y T tales que T = n/2 , o bien que T/n = 0,5 Si analizamos los datos que hemos obtenidos tenemos que: para n = 99 tenemos que T/n= 0:192; Para n = 199, T/n es aproximadamente 0.598; y para n = 299, T/n = 0:462. Por tanto en cada grupo de 100 números la razón de crecimiento de T es apenas mayor que ½ con los primeros 20 números, y la razón de crecimiento de n es mucho mayor. Entonces podemos olvidarnos de todos los valores de n mayores que 319, ya que para n = 319 el número de billetes que contienen al dígito 1 es igual a : 19 + 100 + 19 + 11 = 149 , por tanto T/n<1/2 Por lo tanto, si se ha de cumplir que T/n= ½ , ello implica que n tiene que variar entre 1 y 299. Razonando de manera similar llegamos a la solución( que seguramente resolverá el lector). El conjunto de soluciones es : 160, 270 y 272. |
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