108. EL DODECÁGONO - Página 2: Solución |
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Parece natural preguntarse si realmente es posible. Supongamos que sí posible realizar tal proceso. Consideremos todos los segmentos de un color, digamos rojo. El número total de triángulos con un solo lado rojo es igual al número de triángulos con dos lados pintados con los otros11 colores, es decir, el número combinatorio de 11 términos tomados de dos a dos, por tanto igual a : (11.10)/2=55 Pero como cada segmento rojo es un lado de 10 triángulos, el número de segmentos rojos es al menos 6. Lo mismo pasa con los otros 11 colores. Luego, el número total de segmentos es al menos 12. 6 = 72. Pero como además se cumple que el número total de lados y diagonales en un dodecágono es el número combinatorio de 12 términos tomados 2 a 2 , esto es : (12.11)/2= 66, que claramente es menor que 72 . Esta contradicción muestra que no existe tal coloración. |
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