y² = x³ + αx + β (1)

1. Dibujamos la cúbica y = x³ + αx + β
2. Eliminamos los puntos con ordenada negativa
   
   
   
   
3. Aplicamos la transformación (x, y) → (x, √y)
4. Reflejamos la gráfica resultante respecto el eje de abscisas
   
   
   
   

La condición 4α³ + 27β² ≠ 0 garantiza que la curva elíptica sea regular, es decir, sin vértices ni autointersecciones. Si 4α³ + 27β² > 0 la curva tiene una unica componente conexa mientras que si 4α³ +27β² < 0 tendrá dos, esto puede observarse en la Figura 1.

2.2. ¿Cómo se usan las curvas elípticas?

La principal propiedad de las curvas elípticas que explota la criptografía es su capacidad para definir, de manera natural, un grupo abeliano sobre el conjunto de sus puntos. Efectivamente, existe una operación binaria interna que es asociativa. Su elemento neutro es el punto del infinito O y si P =(x, y) es un punto de la curva entonces su inverso será −P =(x, −y).

Es común referirse al grupo definido por la curva elíptica E como (E(K), +). Dados dos puntos P y Q de E(K), el punto P + Q se obtiene trazando la recta que pasa por P y Q para encontrar un tercer punto de intersección que llamaremos R y posteriormente reflejando este tercer punto respecto el eje de abscisas, así P + Q = −R. Dicho de otra manera, si una recta corta E(K) en 3 puntos P , Q y R, entonces P + Q + R = O (ver Figura 2).

En algunos casos concretos la recta cortará E(K) en dos puntos. Si se trata de dos puntos que se hayan sobre la misma vertical tenemos la relación P + Q = O


(i.e. Q = −P ) ya que toda recta vertical corta el punto del infinito O (ver Figura 3).

Si por el contrario la recta es tangente a la curva en P y secante en Q lo que sucede es que estamos sumando dos veces el primer punto. Es decir P +P = −Q (ver Figura 4).


Sea como fuere la suma de puntos está bien definida en E(K) y podemos operar en este grupo con fines criptográficos.