¿Desea usted crear una serie de aplicaciones didácticas personalizadas que sirvan de recurso para la comprensión profunda de axiomas, propiedades y teoremas geométricos en la educación secundaria? ¿Que puedan usarse vía Internet? ¿Operativas en cualquier sistema? ¿Que incluyan capacidades de cálculo numérico y simbólico? ¿Donde se pueda trabajar con ecuaciones? ¿Desea usted, también, que permitan el estudio de las funciones elementales, el uso de parámetros y la representación de derivadas e integrales? ¿Y, ya puestos, dotadas de un entorno amigable que permita una interacción inmediata con ellas? ¿Con una estética depurada? ¿Sin problemas de accesibilidad, pues hay que pensar en todos? No lo dude: estudie a fondo algún lenguaje de programación orientada a objetos como Java o ActionScript, algo de XHTML para su implantación en la web, condiméntelo con un poco de JavaScript y XML si es preciso, y... dedíquele miles de horas. Le deseamos mucha suerte.

Aunque, si no es usted persona chinchorrera o quisquillosa, existe otra posibilidad. Afortunadamente para usted y para mí, y para muchos más como nosotros, hace ya algunos años que de la parte pesada, la programación, se vienen ocupando los expertos. Markus Hohenwarter, desde el departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Salzburgo, es uno de estos desarrolladores que pone a nuestra libre disposición un entorno sencillo, amigable y potente con el que podemos realizar fácilmente construcciones geométricas y analíticas. Este entorno se llama Geogebra, es extremadamente fácil de manejar, se gestó en el año 2001 y se encuentra disponible en la dirección www.geogebra.at.

Antes de nada, hay que señalar que este software se encuentra actualmente en fase de ampliación, por lo que están previstas mejoras y complementos, como añadir macros o animaciones, para las próximas versiones. Realizado en Java (geogebra.jar), guarda cada una de nuestras construcciones en un archivo XML de extensión ggb. La versión 2.7.1.0, la última en este momento, es la que se analiza en este artículo.

Nada menos que siete facetas muy interesantes saltan a la vista al aproximamos a Geogebra, sin adentrarnos todavía en su funcionalidad:

En su excelente informe El profesorado de matemáticas ante las Tecnologías de la Información y la Comunicación (La Gaceta de la RSME, vol. 9, nº 2), Antonio Pérez Sanz clasifica el software para Matemáticas en dos categorías, según la funcionalidad: la general (en donde entraría Derive) y la específica (en donde entraría Cabri, para la geometría).

Seamos ahora más precisos. Existe una categoría de programas conocida como Sistemas de Álgebra Computacional (CAS, en inglés), que permiten cálculos simbólicos y numéricos, y también representaciones simbólicas. Aquí entrarían Derive (Tecnología para el realismo en la enseñanza del Cálculo Integral, La Gaceta de la RSME, vol. 5, nº 2), Mapple (La Gaceta de la RSME, vol. 1, nº 1), Mathematica (La Gaceta de la RSME, vol. 1, nº 3) y MathLab (La Gaceta de la RSME, vol. 3, nº 2), entre otros. Los comandos se introducen, esencialmente, con el teclado.

Otra categoría se conoce como Sistemas de Geometría Dinámica (DGS).Estos entornos permiten la introducción directa en la ventana gráfica de objetos geométricos y la representación dinámica de los mismos. Aquí estarían Cabri, Cinderella (La Gaceta de la RSME, vol. 4, nº 1) y otros. Los comandos se introducen, fundamentalmente, con el ratón.

Geogebra tiene algo de las dos categorías, pero no de forma separada, y esto es lo más interesante. Combina las representaciones gráficas y simbólicas ofreciendo ambas al mismo tiempo, lo que genera un gran valor añadido. En los siguientes apartados, la palabra “objeto” se refiere a cualquier tipo de dato o resultado, no necesariamente geométrico, que el usuario puede introducir en escena: números, puntos, ecuaciones, funciones, etc.

Geogebra como Sistema de Geometría Dinámica (Geogebra Geometry)

Veamos primero a Geogebra como un ejemplo de DGS. Estos programas de ordenador permiten la creación y manipulación de construcciones geométricas. Dentro de este amplio grupo, la mayoría, como Geogebra (al menos de momento), se limita a la geometría en el plano (2D). El modus operandi es común a todos ellos y consiste en situar unos cuantos objetos geométricos (puntos, rectas, círculos, polígonos...) en la ventana gráfica. Estos objetos iniciales, a los cuales podemos añadir más en el proceso de construcción, son libres, es decir, independientes. Basándonos en ellos, podemos agregar nuevos objetos geométricos dependientes, como puntos medios, mediatrices y lugares geométricos en general. También podemos realizar mediciones sobre los objetos construidos e incluso usar estas mediciones para la creación de nuevos objetos. En cualquier momento, basta resituar los puntos de partida, es decir, modificar las condiciones iniciales, para visualizar los cambios que produce esta nueva ubicación en toda la construcción. Como ya se ha mencionado, todos estos procesos se realizan, fundamentalmente, con pulsaciones y arrastres del ratón.

Geogebra permite el estudio de construcciones con regla y compás, geometría analítica y vectores. Es indudable que el núcleo principal de Geogebra está diseñado para estos cometidos. Incluso podemos usar una versión exclusivamente geométrica de Geogebra, llamada Geogebra Geometry, que reduce el programa a estos procesos con el ratón, eliminando la parte algebraica. Esta aplicación reducida puede resultar especialmente práctica en los primeros niveles del aprendizaje de la geometría (educación primaria).

Los DGS pueden ser divididos en dos categorías: determinísticos y continuos (ambas categorías son excluyentes). Cabri es determinístico, mientras que Geogebra es continuo. En los programas determinísticos, como Cabri, todas las construcciones quedan totalmente determinadas por los puntos o números iniciales, pero algunas construcciones puede comportarse de forma inesperada cuando se mueven esos puntos. Por el contrario, en los programas continuos, como Geogebra, muchas construcciones dependen de una serie de parámetros ocultos, predefinidos por el programador, por lo que la construcción adquiere mayor libertad y consistencia. En este tipo de programas existe el riesgo de que una serie de pasos que teóricamente nos debería devolver a la misma posición inicial no lo consiga, pero este problema parece estar resuelto en Geogebra.

La estética es muy importante en geometría, en donde la belleza de las formas y sus propiedades han llamado la atención del mundo intelectual desde hace siglos. Sin llegar a la calidad excepcional de los mejores programas de representación de gráficos vectoriales, Geogebra ofrece una estética digna. Dispone de varios tipos de estilos aplicables a los objetos, como grosor, color y transparencia. En las siguientes imágenes, en donde los píxeles han sido aumentados varias veces, podemos comparar el suavizado de las líneas (antialiasing) de Geogebra, a la izquierda, con la misma línea dibujada en Cabri, a la derecha.. Además, Geogebra puede exportar la zona gráfica como una imagen vectorial (eps).

Geogebra también permite importar imágenes (gif, jpg, tif o png) y tratarlas como mapas de bits. Esto significa que podemos usar fotos, patrones visuales o dibujos no sólo para integrarlos en el escenario (como imagen de fondo, por ejemplo) sino como propios objetos geométricos susceptibles de transformaciones (traslación, homotecia, reflexión, rotación o distorsión). Las imágenes importadas también disponen de índice de transparencia. La práctica opción del menú Captación de puntos a la cuadrícula permite situar fácilmente puntos en coordenadas precisas con un solo clic.