Geogebra como Sistema de Álgebra Computacional

Veamos ahora a Geogebra como un ejemplo de CAS. Estos programas de ordenador permiten el cálculo numérico y simbólico. En este sentido, Geogebra es modesto, pues no hay que olvidar que la finalidad de este programa es facilitar el aprendizaje escolar. Geogebra permite introducir directamente expresiones numéricas, puntos, vectores, ecuaciones de rectas y cónicas, y funciones. A partir de ellas, puede resolver sistemas, hallar las raíces de una función, o representar la función derivada y una primitiva. La entrada (input) de los comandos se realiza en una ventana de una sola línea, situada en la parte inferior de la pantalla. Casi todos los comandos están en español. La salida (output) se presenta en la ventana algebraica, situada en la parte izquierda de la pantalla. Esta ventana algebraica no sólo es de salida, sino también de reentrada, de forma que se puede volver a editar cualquiera de los objetos (si conserva algún grado de libertad).

Geogebra no ofrece una representación simbólica de los resultados numéricos, sino una aproximación de los mismos. Las expresiones con fracciones, raíces, y operadores en general, están permitidas en la introducción de datos numéricos, pero desaparecen en la salida (salvo en las funciones), quedando reducidas a una aproximación decimal.

Geogebra tampoco permite el tratamiento indefinido de variables (salvo x e y, que están reservadas). Una letra no puede representar, por ejemplo, un número real cualquiera. Así, aunque podemos calcular la derivada de f(x) = 2x, no podemos generalizar el cálculo a la derivada de f(x) = kx. La constante k debe poseer en todo momento algún valor concreto. De igual modo, tampoco podemos discutir un sistema lineal según los valores de un parámetro indefinido. En el siguiente apartado veremos el motivo de estas carencias.

Geogebra como combinación de DGS y CAS

Podemos considerar todo lo anterior como una mera introducción a la idea principal en la que se basa Geogebra. La potencia didáctica que posee este programa se fundamenta en la visualización simultánea de dos tipos diferentes de representación: la gráfica y la simbólica.

La pantalla de Geogebra se divide en cinco zonas: el menú y los botones, en la parte superior, la entrada de comandos en la inferior, la gran zona gráfica a la derecha y la zona algebraica a la izquierda.

Se observa el esfuerzo que se ha realizado para que la introducción de los objetos sea lo más sencilla posible. En la imagen de la izquierda vemos con más detalle la zona algebraica. Los puntos A, B, C, D, E y P pudieron ser creados con el ratón o bien ser definidos en la entrada de comandos. En cualquiera de los dos casos la representación simbólica y gráfica será la misma. Es decir, Geogebra muestra una identificación visual permanente entre las coordenadas de un punto y su representación en el plano. Lo mismo sucede con los objetos dependientes que vemos. No sabemos si la cónica c, o las tangentes t₁ y t₂, o los ángulos α, β y γ, fueron construidos con el ratón directamente sobre la pantalla gráfica o usando el teclado en la línea de entrada de comandos (en realidad, yo sí lo sé, puesto que fueron mis acciones, pero usted no puede saberlo).

Analicemos ahora las carencias observadas en Geogebra como CAS: falta de exactitud en la representación numérica e imposibilidad de manejar variables indefinidas. Para ello nos serviremos de una sencilla construcción que realizaremos paso a paso. Empezamos introduciendo en la línea de comandos el número 1, y pulsando la tecla Intro, sin más.

Observamos que Geogebra ha asignado un nombre automáticamente a este número (Geogebra sigue normalmente el orden alfabético, añadiendo un subíndice en caso de repetición). Pero ¡la ventana gráfica permanece vacía! Si hacemos clic derecho sobre el ítem de la ventana algebraica, surge un menú contextual en donde vemos que la opción “Expone objeto” se encuentra desactivada. Cuando la activamos, aparece un deslizador, representando el valor del número, en la ventana gráfica.

Si lo deseamos, podemos modificar los extremos del intervalo en el que se mueve el deslizador, así como el incremento de paso. Volvamos a la línea de entrada de comandos y escribamos (a, a/3). Inmediatamente se modifican las dos ventanas, algebraica y gráfica:

Observamos de nuevo la letra automática, mayúscula al tratarse de un punto, y la aproximación de 1/3 a 0.33 (la precisión varía, a nuestra elección, entre 0 y 5 decimales). El punto A es un objeto dependiente, pues sus coordenadas dependen del valor del número a.

Ahora elegimos la opción de “Activa Trazo” en el punto A y variamos de forma continua el valor de a (entre –5 y 5, en este caso) arrastrando el deslizador:

Si se hubiese respetado la expresión fraccionaria a/3, la variación continua no nos permitiría observar los cambios en el valor de la ordenada del punto A. Al convertir las expresiones numéricas en aproximaciones decimales, se consigue que la observación de las variaciones se realice al mismo tiempo en las dos ventanas, permitiendo una correspondencia visual entre ambas representaciones, numérica y gráfica, de alto valor pedagógico. Usando un símil ajedrecístico, es como un jaque mate con sacrificio previo de dama.

La otra carencia observada, la imposibilidad de trabajar con variables indefinidas, es de nuevo consecuencia del objetivo prioritario de mantener esta correspondencia visual entre las dos ventanas. Una variable indefinida no puede ser representada gráficamente, a menos que adquiera un valor concreto. Así, la función f(x) = kx corresponde en realidad a toda la familia de funciones lineales, cuya representación eclipsaría totalmente la ventana gráfica. Algo nada deseable.

Con Geogebra se pueden usar coordenadas cartesianas o polares. Las ecuaciones de las rectas pueden ser vectoriales, paramétricas, generales o explícitas. También se ofrecen distintas alternativas a las ecuaciones de las cónicas. Todo ello con el propósito de insistir en la dualidad de las representaciones, simbólica y gráfica.