Si crees cualquier cosa que leas sobre el Teorema de Incompletitud de Gödel, se te podría perdonar por creer que contiene las claves de la vida, el Universo y todo lo conocido. En algunos relatos, esta ecuación explica la inteligencia humana, determina la naturaleza del libre albedrío y limita lo que finalmente podemos saber sobre el Universo.

Pero en realidad no hay necesidad de exagerar. Generalmente, los matemáticos están de acuerdo  en que el Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los logros matemáticos más importantes, aunque también uno de los más misteriosos y desconcertantes.

A finales del siglo XIX, los matemáticos tenían un enorme optimismo en que estaba emergiendo una nueva clase de matemáticos que finalmente explicarían todo lo que el Universo pudiera depararnos. En 1920, el matemático alemán David Hilbert propuso un programa de investigación que tendría como meta construir todas las matemáticas sobre sólidos y completos cimientos matemáticos. Creyó que este proceso mostraría que las matemáticas no contienen contradicciones, dicho en lenguaje matemático, que eran consistentes.

Hilbert estaba equivocado. Y el hombre que lo probó fue Kurt Gödel.

Gödel descubrió una propiedad de los sistemas lógicos que dejó totalmente estupefactos a los matemáticos. Comenzó pensando cómo utilizar las reglas (axiomas) para construir proposiciones. Lo que Gödel descubrió fue que, si estas reglas no contienen contradicciones, entonces hay algo curioso acerca de lo que se puede deducir de ellas: ciertas afirmaciones no pueden probarse usando las reglas disponibles, aunque sean verdaderas. Son necesarias reglas adicionales para demostrar el argumento. Así pues, el sistema original de reglas debe estar incompleto.

El Teorema de Gödel establece que aunque un sistema de reglas sea consistente, es incompleto. Por ejemplo, la aritmética se compone de un conjunto de reglas sobre los números. Estas reglas no contienen contradicciones; sin embargo, en virtud del Teorema de Gödel, deben ser incompletas.

De golpe, la infalibilidad de las matemáticas fue destruida. El teorema implica que no es posible construir sólidos y completos cimientos para las matemáticas, de manera que permita demostrar cualquier verdad matemática.

Las consecuencias filosóficas de este resultado son enérgicamente debatidas. Mucha gente se ha preguntado si las leyes de la Física constituyen un sistema de reglas consistente. De ser así, aplicando el Teorema de Gödel, las leyes de la física deberían ser incompletas. Pocos progresos se han realizado sobre la formalización de las leyes físicas de un modo consistente y hay pocos acuerdos entre los científicos de que esto sea incluso posible. ¿Podrían existir leyes físicas verdaderas que no se puedan probar? Podría ser.