La raíz de 2 es irracional |
Escrito por Marta Macho Stadler |
Martes 13 de Noviembre de 2012 |
En el blog The Dude Minds… recuerdan una demostración de la irracionalidad de √2, también por reducción al absurdo, como la clásica prueba que solemos enseñar en el aula. Supongamos que √2 es racional y que se escribe como con m y n coprimos (es decir, la fracción es reducida), entonces se cumple también que y aquí está la contradicción: se trata de una fracción con términos menores a la primera. Esto se merece una explicación un poco más minuciosa. ¿Seguro que la segunda fracción es igual a la primera? ¿Seguro que el denominador de la segunda es positivo y menor que el denominador de la primera n? Vamos a verlo. Como Y como n es positivo, multiplicando por n n < m < 2n, y restando n 0 < m – n < n. Así, el denominador de la segunda fracción es positivo y menor que el de la primera fracción. Partiendo de de manera equivalente se tiene que Observar que como m y n son coprimos, n es el menor entero que hace que el miembro de la izquierda sea entero. Elevando al cuadrado 2 n2 = m2 y restando nm de cada lado de la igualdad 2 n2 – mn = m2 – mn. Observar que como n < m < 2n, es mn < m2, luego ambos lados de la anterior igualdad son positivos. Sacando factor común, queda n ( 2 n- m ) = m ( m – n ), y entonces se obtiene el resultado buscado y la contradicción. En el artículo [David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine 68 (1995), no. 4, 286] el autor menciona que Ivan Niven hizo una demostración un poco diferente en 1985. También comenta que este argumento puede modificarse para tratar la irracionalidad de cualquier √k donde k no es un cuadrado perfecto. Nota: Esta entrada está traducida de Plus d’une preuve dans son sac… del blog The Dude Minds…
Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com |