Sus obras más importantes se enmarcan en el área de la geometría: continúa los trabajos de Girard Desargues y Blaise Pascal en geometría cónica, obteniendo propiedades de las cónicas a partir de las de la circunferencia. Su método es innovador, al explotar las propiedades de invariancia de la división armónica, lo que le permite razonar casi exclusivamente en el plano (y no en el espacio). Este enfoque llevó a desarrollar los conceptos de polo, de recta polar, de homología, de lugar ortóptico, etc.

La Hire se interesó también por la geometría de Descartes y las curvas algebraicas, pero criticó (hacia 1690) el cálculo infinitesimal en su fórmula de “cálculo de lo infinitamente pequeño”.

Se le debe una demostración del llamado teorema de La Hire, resultado conocido en realidad mucho antes de su contribución.

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Lleva su nombre la recta de La Hire, obtenida por rodamiento de una circunferencia en un círculo del doble de radio.

http://www.mathcurve.com/courbes2d/lahire/lahire.shtml

Tradujo le memoria de Manuel Moschopulus sobre cuadrados mágicos y reunió algunos teoremas sobre esta curiosidad aritmética desconocidos hasta ese momento.

Miembro de la Académie des sciences desde 1678, se dedicó activamente a la astronomía, calculando tablas del movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Publicó un conjunto de tablas astronómicas Tabulæ Astronomicæ en 1702.

Andromeda y Cassiopeia, detalle del “Planisphère celeste” de Philippe La Hire, 1705.

Su trabajo también se extendió a la zoología descriptiva, la botánica, el estudio de la respiración y la óptica.