En busca de la distancia perdida…
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Escrito por Marta Macho Stadler   
Jueves 21 de Julio de 2022

Tenemos cinco puntos dispuestos sobre la recta real: p1 <  p2 <  p3 <  p4 <  p5. Las diez distancias entre esos pares de puntos, enumeradas de menor a mayor, son: 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17 y 19.

k

Se pide encontrar el valor de k.

Antes de leer la respuesta, ¡intenta resolverlo!

La distancia entre p1 y p5 es obviamente 19. Eso significa, claramente, que 19 es también la suma de cada uno de los tres pares de distancias intermedias, es decir:

  1. (p2 – p1) + (p5 – p2) = 19,
  2. (p3 – p1) + (p5 – p3) = 19 y
  3. (p4 – p1) + (p5 – p4) = 19.

Observando el listado de distancias proporcionado en el enunciado del problema, los únicos pares de distancias que suman 19 son (2,17) y (4,15). Pero debe de haber otro par de tales números sumando esa cantidad. Como 8 < k < 13, ese tercer par debe ser (7,k) u (8,k), lo que implica que k = 12 ó 11, respectivamente.

La segunda mayor distancia es de 17, lo que significa que es p5 – p2 = 17 o p4 – p1 = 17. Analicemos cada caso por separado:

Si fuera p5 – p2 = 17, al igual que hemos razonado antes, la suma de los pares de distancias intermedias también debería ser de 17. Es decir:

  1. (p5 – p3) + (p3 – p2) = 17,
  2. (p5 – p4) + (p4 – p2) = 17.

Si fuera p4 – p1 = 17, tendríamos:

  1. (p4 – p2) + (p2 – p1) = 17,
  2. (p4 – p3) + (p3 – p1) = 17.

Uno de esos pares de distancias que suman 17 es (4,13) y el otro debe ser (5,k), (7,k) o (8,k). Es decir, k debe ser 12, 10 ó 9.

Teniendo en cuenta el razonamiento anterior se concluye que k = 12.

Nota

Visto en Fixing a Point, Futility Closet, 20 julio 2021

El anterior texto es una adaptación de la respuesta propuesta por el matemático Gustavo Krimker (Buenos Aires).

Artículo publicado en el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología (ZTF-FCT) de la Universidad del País Vasco ztfnews.wordpress.com.

 
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