Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos descubrirán la fórmula de Euler para poliedros y verán que es válida para cualquier poliedro convexo.

Requisitos previos
Habilidad para construir e identificar distintos poliedros incluyendo los cinco sólidos platónicos (“Poniendo nombre a las figuras bidimensionales y tridimensionales”, “Sólidos platónicos I” y “Sólidos platónicos II”)

Tiempo necesario
Una o dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.
Una patata o un trozo de espuma o corcho blanco.

Procedimiento

Comienza la clase con un breve repaso de lo que saben tus alumnos de los poliedros. ¿Qué es un poliedro o un sólido? ¿Cómo se llaman? ¿Quién sabe cuáles son los sólidos platónicos? ¿Cuántos son?¿Alguien conoce otros sólidos?
Haz en la lista una pizarra con los sólidos de la tabla de abajo. Explica a los alumnos que hay una relación numérica entre las caras, aristas y vértices de cualquier poliedro. ¿Cómo podemos encontrar esta relación? Divide la clase en grupos de cinco alumnos. Su tarea es encontrar la fórmula que relacione esos elementos. Deben comenzar construyendo cada una de las figuras de la lista. Deben copiar en sus cuadernos los nombres de todos los sólidos y hacer una tabla para anotar el número de caras, aristas y vértices ayudándose para hacerlo de las figuras que han construido.
Cuando terminen, sus tablas deben quedar así:

Los alumnos deben seguir trabajando hasta que encuentren la relación que une las caras, las aristas y los vértices de cada figura. Probad sumando y restando los números en distintas combinaciones hasta encontrar una fórmula que proporcione siempre la misma respuesta.

Una vez deducida la fórmula correcta, escríbela en la pizarra:

Caras + Vértices = Aristas + 2

C + V = A + 2

o   C + V – A = 2

Esta fórmula se llama “Fórmula de Euler” a raíz de que el matemático suizo Leonhard Euler la descubriera en 1752. Euler demostró que la fórmula es válida para cualquier poliedro convexo, sea o no regular.
Si queda tiempo, prepara una demostración de la fórmula utilizando una patata (o un trozo de corcho blanco) y un cuchillo. Ve cortando la patata hasta que salga un poliedro cualquiera. Cuenta las caras, las aristas y los vértices ayudándote de un rotulador para marcar los elementos ya contados. Muestra en la pizarra que los números coinciden con la fórmula de Euler. Otra opción es dejar que los alumnos construyan distintos poliedros irregulares y que comprueben ellos mismos que la fórmula funciona.
¿Alguien sabe para qué puede servir esta fórmula? Por ejemplo, si un constructor sabe el número de varillas y conectores de una cúpula geodésica, puede calcular el número de paneles necesarios para construirla.

Evaluación
Revisa las tablas y las fórmulas de los cuadernos de los alumnos. Para superar los contenidos mínimos los alumnos deben construir y conocer el nombre de os poliedros de la lista, contar sus elementos e intentar deducir una fórmula general. Superan ampliamente esos contenidos mínimos si son capaces de explicar la fórmula de Euler.

Estándares del NCTM
Resolución de problemas matemáticos como método de investigación y aplicación (Estándar NCTM 1)
Las matemáticas como medio de comunicación (Estándar NCTM 2).
Las matemáticas como razonamiento (Estándar NCTM 3)
Estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12)

Posibilidades de ampliación
Más trabajo con la geometría de los poliedros (“Sólidos arquimedianos”, y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Comentar las demostraciones de las fórmulas matemáticas.