Conceptos de Matemáticas y Arte

Objetivo:
Los alumnos aprenderán que mientras los pentágonos regulares no pueden teselar un plano por sí mismos, pueden hacerlo junto a otras figuras. Este tipo de mosaicos se llaman no-periódicos.

Requisitos previos
Trabajo previo” con mosaicos (“Mosaicos”, “Qué son los cuadriláteros”, “Mosaicos con cuadriláteros” y “Mosaicos planos”). Conocer conceptos de simetría (“¿Qué es la simetría?”, “Simetría múltiple” y “Simetría traslacional en mosaicos”).

Tiempo necesario
Dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.

Procedimiento
Revisa con los alumnos los mosaicos construidos durante la anterior lección. ¿Qué tiene de especial la repetición de esos mosaicos? ¿Cuántas figuras distintas se han utilizado en un mosaico? Cuando una o varias figuras se repiten en un patrón continuo, el mosaico se llama periódico. Cuando el patrón cambia o se interrumpe, el mosaico se llama no-periódico. En todo el mundo se ha trabajado con teselas y mosaicos de distintos tipos. El científico y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), estudió los mosaicos no-periódicos. Los mosaicos de esta lección se conocen como Mosaicos de Kepler.
Divide a los alumnos en grupos y reparte las piezas del Sistema Zome. Los grupos deben construir mosaicos periódicos con polígonos regulares, y por supuesto, sin huecos entre las figuras. Con triángulos, cuadrados y hexágonos queda claro que no hay huecos entre las figuras y que un número fijo de teselas encajan perfectamente alrededor de un punto sin huecos.
¿Y qué ocurre con los pentágonos? ¿Podemos teselar con ellos sin huecos? ¿Cómo podemos averiguarlo? Pide a los alumnos que construyan un pentágono regular, y que formen más pentágonos alrededor del vértice. ¿Cuántos pentágonos podemos encajar alrededor del vértice? ¿Encaja perfectamente? ¿Significa esto que no podemos teselar con ellos? Para ver lo que pasa, haz que los alumnos prueben construyendo pentágonos. ¿De cuántas formas podemos teselar con pentágonos junto a otra figura? ¿Qué otras figuras se necesitan para completar el mosaico? Ved diferentes formas de construir un anillo de pentágonos con un hueco en medio. En los dibujos se muestran varios ejemplos.
¿Cuáles de los mosaicos construidos por los alumnos presentan simetría traslacional? ¿Cuáles tienen simetría rotacional? ¿Algún equipo ha construido un mosaico sin ningún tipo de simetría?
Termina la lección haciendo que los alumnos escriban en sus cuadernos sus propias definiciones de mosaicos no-periódicos.

Evaluación
Estudia los mosaicos creados por los equipos y revisa sus cuadernos. Para alcanzar el objetivo de la lección, los alumnos deben averiguar qué figuras pueden utilizarse para teselar con pentágonos regulares. Superan ampliamente el objetivo si saben diferenciar correctamente los mosaicos periódicos de los no-periódicos.

Estándares del NCTM
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12).

Posibilidades de ampliación
Trabajo con mosaicos más complejos de 2 y 3 dimensiones (“Mosaicos de Richert-Penrose”, “Triángulos tridimensionales”, “Teselas triangulares tridimensionales”, “Sólidos platónicos I” y “Sólidos platónicos II”).