133. NUMEROS PERFECTOS Y SUPERPERFECTOS
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Un número N es perfecto cuando la suma de todos sus divisores es igual a 2N, es decir la suma de los divisores menores que N es igual a N
La suma de los divisores de N se suele expresar σ(n).
Por tanto N es perfecto si σ(n)= 2N
Diremos que un número N es superperfecto si σ(σ(N))= 2N
De acuerdo a las definiciones anteriores encontrar algún número superperfecto.

 


 Es claro que si  N = 2k   y  además se cumple que  2k+1  - 1  es un número es primo,

entonces se verifica que  N  es un número superperfecto.

Daremos una demostración de manera muy esquemática, pero que refleja en esencia las ideas fundamentales.


En efecto se verica la condición de los números superperfectos ya que :

 

    σ(σ(N))=σ(σ(2k))=σ(2k+1-1)= 2k+1 =2N

 

 

 NOTA: Si queremos ver algunos ejemplos de números que cumplen las condiciones anteriores , rápidamente encontraremos algunos sencillos, como el número  4 . En efecto se verifica que 4 = 22 y además 22+1 -1 = 7 es un número primo.

Veamos que efectivamente que el número 4 es un número superperfecto

Los divisores del 4 son : 1, 2 y 4 por tanto   σ(4)= 7

Por otra parte  σ(σ(4))=σ(7)= 8 =2.4

 

 
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