78. LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
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La sucesión de Fibonacci, como sabes es la siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..

Cada término de la sucesión se obtiene sumando sus dos términos anteriores, siendo sus dos primeros términos el número 1.

El problema consiste en probar que el número 9 divide a una infinidad de términos de la sucesión de Fibonacci.

Si estudiamos la sucesión formada por los residuos bajo la división por 9 de la sucesión de Fibonacci. Es decir, consideremos la reducción módulo 9 de la sucesión de Fibonacci. Observemos que se puede construir ésta tomando los dos primeros términos iguales a 1 y, a partir del tercero, sumando los dos residuos anteriores y considerando su residuo; Por tanto podemos construir la sucesión de residuos utilizando la misma regla que para construir la sucesión de Fibonacci, pero haciendo las operaciones módulo 9.

Así la sucesión que nos sale es :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4 ,1, 5, 6, 2, 8, 1, 0,...; a partir de aquí se repite todo (pues 1 + 0 = 1 y 0 + 1 = 1) entonces en esta sucesión aparecen una infinidad de 0’s; pero cada vez que aparezca 0 es porque 9 dividía al término correspondiente en la sucesión de Fibonacci. Por tanto esto termina la demostración.

 
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