105. LOS MONTONES DE PIEDRAS
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105. LOS MONTONES DE PIEDRAS |
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Es un juego de montones de piedras en el que hay varios montones que pueden modi
ficarse de acuerdo a las dos siguientes reglas: (1) Se pueden juntar dos de los montones en uno solo.: (2) Si un montón tiene un número par de piedras, se puede partir en dos montones con el mismo número de piedras cada uno. Si al principio hay tres montones, uno de ellos tiene 5 piedras, otro tiene 49 y el otro tiene 51. : Determina si es posible lograr, con movimientos sucesivos, y siguiendo las reglas (1) y (2), que al fnal haya 105 montones, cada uno con una piedra. Explica claramente el proceso. Es evidente que en el primer movimiento, según las reglas, tenemos que juntar dos de los tres montones de piedras, pues ninguno tiene una cantidad par. Hay varias posibilidades de hacerlo. Si en el primer movimiento juntamos los montones de 51 y 49, en el siguiente paso la cantidad de piedras en cada montón será un múltiplo de 5. Como las operaciones posibles son sumar dos montones o dividir uno entre 2, las cantidades de piedras en los montones de los siguientes pasos han de ser nuevamente todos múltiplos de 5; de esta manera será imposible conseguir montones de una sola piedra haciendo estas operaciones. En las otras dos posibilidades, para el primer movimiento los montones que resultan son, o ambos múltiplos de 3, o ambos múltiplos de 7, razonando de manera similar que en el primer caso, no es posible llegar a montones con una piedra. |