Como ya sabes un número natural es ABUNDANTE si la suma de sus divisores positivos supera a su doble.

A)    Encontrar un número ABUNDANTE  impar

B)     Demostrar que los  números ABUNDANTES impares  son infinitos.

Intentemos encontrar un número abundante impar.

Si N es  un número cuya descomposición es (1), entonces la suma de todos los divisores es S(N). la  podemos encontrar de acuerdo a (2)

Si ahora consideramos una sucesión de números primos impares ( para no  formar un número par) y  tomamos  distintos  N_1, N_2., N_3,…., tratando de hallar un número abundante, tenemos (3)

De acuerdo a estos cálculos como 32.256>2.(15.015)= 30.030 , hemos encontrado un número abundante impar, en este acaso el  15.015.

Es evidente que 15.015 no es el menor de los números abundantes impares, ya que sólo hemos considerado números N, en los que los factores primos son todos distintos.

Ahora demostremos que hay infinitos números naturales abundantes impares.

Para  N= 15.015. P, con P>13 y Primo, se verifica fácilmente que  N es abundante e impar, efectivamente:

S(N) = ( 1+P).(1+3).(1+5)…( 1+11).(1+13)= (1+P).32.256>(1+P)2.(15.015) > 2.(15.015).P