Sobre números primos
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Demuestra que hay infinitos números primos de la forma 6k-1

Notas:
a)trata primero de demostrar que todo número primo mayor que 3 es de la forma 6k+1 o 6k-1
b) realiza la demostración suponiendo que el número de primos de la forma 6k-1 es finito

a) primero de demostraremos que todo número primo mayor que 3 es de la forma 6k+1 o 6k-1

Puesto que los números mayores que 3 se pueden distribuir del modo siguiente:

6k-2

6k-1

6k

6k+1

6k+2

6k+3

4

10

16

22

28

.

5

11

17

23

29.

6

12

18

24

30

.

7

13

19

25

31

.

8

14

20

26

32

.

9

15

21

27

33

.



La tabla es suficientemente explicativa, los números impares han de estar en la segunda y cuarta columna, por tanto son de la forma 6k+1 o 6k-1

b) Para realizar la demostración del problema, se puede comprobar en primer lugar que el producto de dos o más números enteros de la forma 6k+1 también es de la forma 6k+1(lo dejamos como ejercicio). También sucede lo mismo para los números de la forma 6k-1.

Ahora supongamos que los números primos del tipo 6k-1 fuese un conjunto finito. Llamando B a ese conjunto tenemos que :

es un conjunto finito

Si formamos un nuevo número que llamaremos , es evidente que tal número es de la forma 6k-1. Pudiéndose presentar dos alternativas

1) A es primo, pero como es mayor que cualquiera de los elementos del conjunto B y además B es finito, no puede pertenecer a tal conjunto.

2) A no es primo, pero entonces ha de tener algún divisor primo q de la forma 6k-1( se deja como ejercicio), y además tal divisor ha de ser distinto de cualquiera de los elementos que forman el conjunto B, pues sino dividiría a 1 y esto es imposible; hemos encontrado, por tanto otro primo del tipo 6k-1 que no está en B.

En los dos casos llegamos a una contradicción que se produce al suponer que el conjunto B es finito. Por tanto B ha de ser un conjunto infinito.

 
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