66. TRIÁNGULO DE NÚMEROS CONSECUTIVOS
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Demostrar que existe uno y sólo un triángulo con longitudes de sus lados enteros consecutivos, y uno de sus ángulos el doble del otro.

Supongamos el siguiente triángulo





Siendo A, B y C los ángulos correspondientes a los lados a, b y c respectivamente. Además suponemos que el ángulo A = 2B

Para resolver el problema es conveniente conocer las relación que existe entre los lados del triángulo. Aplicando el teorema del seno, tenemos:





Desarrollando adecuadamente, a partir de las igualdades anteriores, y teniendo en cuenta el valor de sen2B y sen 3B, podemos llegar a obtener la siguiente condición:



Una vez obtenida esta relación, al ser a>b, tenemos varios casos a estudiar:

a) a>b>c , al ser números consecutivos b = a-1 y c = a-2 , introduciendo estos valores en la igualdad anterior llegamos a una ecuación de segundo grado , que si resolvemos no nos da un número entero, por tanto este caso está descartado

b) a>c>b , al ser números enteros consecutivos c = a-1 y b = a-2 , realizando el mismo razonamiento que en el caso anterior llegamos a proponer la ecuación de segundo grado , dando como solución válida , únicamente la b = 4, por tanto c= 5 y a = 6

c) c>a>b, al ser números enteros consecutivos c = a+1 y b = a-1 , razonando igual que en los pasos anteriores llegamos a la ecuación de segundo grado que tiene como solución válida el caso a = 2, pero entonces c = 3 y b= 1 , lo que quiere decir que no existe tal triángulo.

Resumiendo la única solución es b = 4, c= 5 y a = 6

 
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