81. LAS FAROLAS
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81. LAS FAROLAS |
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Se tienen n farolas numeradas del 1 al n. Supóngase que todas están apagadas y cada
una está conectada a un interruptor. Una sucesión de n personas va apagando y
prendiendo las farolas según la siguiente regla: La primera persona cambia de
posición todos los interruptores; la segunda cambia de posición los interruptores
2, 4, 6, 8, ... ; la tercera cambia de posición los interruptores 3, 6, 9, 12, ... ; y así
sucesivamente hasta la última persona que sólo cambia la posición del interruptor n.
¿Qué farolas quedan prendidas después del proceso anterior?. Estudia distintos valores de n. El k-ésima farola cambia de estado cada vez que una persona con número divisor de k cambia de posición los interruptores correspondientes, Así, una farola queda prendida cuando su número tiene un número impar de divisores. ¿ Qué números tienen exactamente un número impar de divisores? Fácilmente puedes comprobar que son los números cuadrados, ya que cualquier otro por cada divisor tiene otro que le acompaña, ejemplo si el 2 es divisor de 18 también lo es el 9. Esto nos indica que en general tcasi todos los números tiene un número par de divisores. Sin embargo en los números cuadrados el que acompaña a su raiz cuadrada( que es un número entero) es él mismo, por ejemplo el 5 es divisor de 25 y además 25= 5. Esto nos indica que el 5 sólo se cuenta una vez, por tanto el 25 tiene un número impar de divisores, que son: 1, 5 y 25 ; puede verse que el 1 acompaña a 25 y el 5 está sólo. Por tanto las únicas farolas que quedan que quedan prendidas son exactamente aquellas que tienen asignado un número cuadrado, est es 1,4,9,16,25,49,...... |