Apolonio (¿262 a.C.-190 a.C.?)
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Apolonio (¿262 a.C.-190 a.C.?) |
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| Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja (IES Sant Josep de Calassanç, Barcelona) | |||||||
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Apolonio representa [en la Geometría griega] la grandeza técnica especializada, el virtuosismo geométrico por excelencia. Es verdad que su obra hizo olvidar lo que antes de él se había escrito en el campo de su mayor brillantez, las cónicas, pero por su carácter tan especializado y tan difícil, ni siquiera esta obra maestra, las Cónicas, se conoce hoy en su integridad y más de la mitad de ella permaneció oculta para el mundo occidental hasta que fue publicada por Edmond Halley en 1710. Miguel de Guzmán. Apolonio (en Un retablo de historias matemáticas. Pensamientos en torno al quehacer matemático [CD–ROM], Madrid, 2001).
Apolonio, el Gran Geómetra
Si entre los matemáticos griegos Euclides representa el maestro sistematizador, y Arquímedes el genio investigador por antonomasia, el tercer talento del helenismo, Apolonio de Perga, personifica el virtuosismo geométrico. Mientras Euclides codifica en Los Elementos los fundamentos de la Geometría griega de la regla y el compás como cuerpo de doctrina central de la totalidad de las ciencias matemáticas elementales y Arquímedes, en su fecunda y brillante obra, magnifica de forma muy considerable el patrimonio matemático griego, alcanzando incluso el estudio riguroso de multitud de problemas infinitesimales tratados con inefable originalidad, Apolonio polarizó su actividad investigadora en una dirección casi monotemática con una sagacidad tan magistral que sus investigaciones sobre cónicas, donde aparecen sus bellísimos descubrimientos sobre ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, rectas máximas y mínimas –tangentes y normales–, etc., le convierten en el primer especialista que registra la Historia de la Geometría y dan justificación al apelativo de «gran geómetra». La mayor parte de los exiguos datos conocidos sobre la vida de Apolonio provienen de unas pocas noticias que el propio autor reseña en las introducciones a algunos de los libros de su magna obra Las Cónicas. Se sabe que nació hacia el año 262 a.C., en Perga, región de Panfilia (la actual Antalya, Turquía); estudió en el Museo de Alejandría con los sucesores de Euclides; y residió tanto en la propia capital alejandrina como en Éfeso y Pérgamo, urbe que gozaba del prestigio de una Biblioteca y un emporio académico del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Según relata Pappus (siglo IV d.C) en La Colección Matemática, donde aparecen numerosas referencias a la obra de Apolonio, el Gran Geómetra era de trato difícil y tenía un carácter melancólico e irascible. El gran historiador de la matemática F.Vera en su edición de Las Cónicas (en Científicos griegos. Aguilar, Madrid, 1970, p.301) dice que «Apolonio era un genio de mal genio». Debido a que el nombre de Apolonio era muy frecuente en Grecia, se suelen cometer habituales errores de atribución. De hecho, importantes sabios y eruditos griegos tuvieron este nombre: Apolonio de Rodas, Apolonio de Tralles, Apolonio de Atenas, Apolonio de Tyana, Apolonio de Tiro, etc. En particular el busto exhibido pudiera no ser de Apolonio de Perga sino del famoso pitagórico del siglo I d.C. Apolonio de Tyana.
La obra geométrica de Apolonio ElTesoro del Análisis de La Colección Matemática de Pappus estaba constituido en gran parte por obras de Apolonio, perdidas o conservadas entonces de forma fragmentaria, que debían de incluir mucho material geométrico cuyo estudio forma parte hoy de la Geometría Analítica. Como se sabe, durante el siglo XVII hubo una auténtica obsesión, en particular por Fermat, por la reconstrucción de muchas de las obras perdidas de Apolonio y precisamente en esta labor estuvo el origen de su Geometría Analítica. Según Pappus debemos a Apolonio la clasificación clásica de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales –según sean resolubles, respectivamente, con rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores–, que perseguía la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geométricos a utilizar a la enjundia de los problemas geométricos a resolver. Los dos Libros sobre Los Lugares Planos estudiaban lugares geométricos rectilíneos o circulares. Mediante un lenguaje geométrico moderno buena parte del Libro I se puede resumir diciendo que la homotecia, la traslación, la rotación, la semejanza y la inversión, transforman un lugar plano en otro lugar plano. En el Libro II aparecen dos importantes lugares geométricos:
En el libro Secciones en una razón dada –el único que ha sobrevivido además de siete de los ocho Libros de Las Cónicas–, traducido por Edmond Halley del árabe al latín, en 1710– Apolonio resuelve diversos casos del siguiente problema: «Dada dos rectas y sendos puntos en ellas, trazar por un tercer punto otra recta que corte a las anteriores en segmentos, que medidos sobre ellas desde los respectivos puntos dados, estén en una razón dada». Este problema conduce a una ecuación cuadrática de la forma ax–x2=bc. También en el libro Secciones en un área dada se resuelve un problema similar que pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro dado. En este caso el problema lleva a una ecuación cuadrática de la forma ax+x2=bc. Con la potencia de nuestra herencia cartesiana y fermatiana, la Geometría Analítica, los problemas se reducen fácilmente a una intersección de cónicas. El geómetra griego aplicaba con suma habilidad el Álgebra geométrica de los Libros II y VI de Los Elementos de Euclides, para, mediante transformaciones geométricas sucesivas, reducir la ecuación –permítasenos un anacronismo matemático– a una forma canónica en la que se reconocía alguna de las tres cónicas. De esta forma podemos imaginar cómo merced a sus extensos conocimientos sobre las curvas cónicas pudo proceder Apolonio en la resolución de problemas tan brillantes. En el Libro Secciones determinadas, Apolonio plantea el problema siguiente: «Dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre la misma recta, hállese un quinto punto P sobre ella, de modo que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el construido sobre BP y DP». Como en los casos anteriores el problema es equivalente a la resolución de ecuaciones cuadráticas, con las que se tratan todas las variantes que se presentan en los datos y las correspondientes soluciones. En los dos Libros De las Inclinaciones, aparecen problemas sólidos y lineales donde se renueva una técnica utilizada por Arquímedes en Sobre las espirales, por ejemplo: «Dadas dos líneas y un punto, trazar por él una recta tal que las líneas dadas corten en ella un segmento de longitud dada». Finalmente mencionamos las siguientes obras de Apolonio:
«La circunferencia circunscrita al pentágono regular del dodecaedro y la circunscrita al triángulo equilátero del icosaedro, ambos inscritos en la misma esfera, es la misma». «Si se inscribe un cubo, un dodecaedro y un icosaedro en una esfera, los lados del cubo y del icosaedro son proporcionales a las áreas y a los volúmenes del dodecaedro y del icosaedro, siendo el factor de proporcionalidad la razón áurea, es decir, la razón entre los segmentos que divide una recta en media y extrema razón». Pero sin duda alguna la obra que ha inmortalizado a Apolonio en la Historia de las Matemáticas es Las Cónicas una de las obras cumbres de la Matemática griega junto con Los Elementos de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, El Almagesto de Ptolomeo, La Aritmética de Diofanto y La Colección Matemática de Pappus. La obra de Apolonio supera con creces y oscurece lo que con anterioridad habían escrito sobre el tema Menecmo, Euclides y otros, cuyos trabajos, reproducidos por Apolonio, vamos a estudiar someramente a continuación...
La Edición de BARROW de las Cónicas de Apolonio
Antecedentes de Las Cónicas de Apolonio Las cónicas de Menecmo y el problema de la Duplicación del Cubo. Se atribuye a Menecmo (hacia 350 a.C.) de la Academia platónica –el más famoso de los discípulos de Eudoxo y maestro de Aristóteles y Alejandro Magno–, la introducción de las secciones cónicas, es decir, el descubrimiento de las curvas que después recibieron el nombre de elipse, parábola e hipérbola, la llamada «Triada de Menecmo». Veremos que el descubrimiento fue un feliz hallazgo en relación con el problema délico de la «duplicación del cubo». Menecmo detectó que para la resolución del problema había una familia de curvas adecuadas, los tres tipos de cónicas obtenidos por el mismo método, a partir de la sección por un plano perpendicular a la generatriz de conos rectos de tres tipos, según que el ángulo en el vértice fuera agudo, recto u obtuso. Partiendo de un cono circular recto de una sola hoja con ángulo recto en el vértice, Menecmo descubrió que al cortar el cono por un plano perpendicular a una de sus generatrices, la curva intersección es tal que su ecuación (utilizando de nuevo un anacronismo en términos de Geometría Analítica moderna) puede escribirse en la forma y2=lx, donde l es una constante, que depende exclusivamente de la distancia del vértice del cono al plano de la sección. Ignoramos como obtuvo exactamente Menecmo esta propiedad, pero como quiera que depende nada más de algunos teoremas de Geometría elemental, se supone que Menecmo utilizaría los conocimientos geométricos familiares a los matemáticos de la Academia platónica. Sea, pues, ABC el cono y sea EDG la curva obtenida al cortarlo por un plano perpendicular en el punto D a la generatriz ADC del cono. Sea P un punto cualquiera de la curva sección y un plano horizontal que corta al cono en la circunferencia PVQR, siendo Q el otro punto de intersección de la curva sección con esta circunferencia.
Ahora de la semejanza de los triángulos DOVD y DBCA se tiene: OV/DO = BC/AB, y de la semejanza de los triángulos DSDA y DABC se tiene: SD/AS = BC/AB. Tomando OP=y, OD=x, como «coordenadas» del punto P, se tiene y2 = RO·OV, de modo que sustituyendo: y2 = OP2 = RO·OV = SD·OV = AS·(BC/AB)· DO·( BC/AB) = ([AS·BC2]/AB2)·x . Ya que los segmentos AS, BC y AB son los mismos para todos los puntos de la curva EQDPG, podemos escribir la ecuación de la curva o «sección del cono rectángulo» en la forma: y2=lx, donde l es una constante que más tarde se llamaría el «latus rectum» De una forma totalmente análoga para conos con ángulo agudo y obtuso en el vértice Menecmo obtendría expresiones de la forma: y2= lx – (b2/a2) · x2,sección de cono acutángulo, y2= lx + (b2/a2) · x2,sección de cono obtusángulo. donde a y b son constantes y el plano de corte es perpendicular a una generatriz. Se observa una gran similitud entre los desarrollos de Menecmo en relación a expresiones equivalentes a ecuaciones y el uso de coordenadas, lo que induce a los historiadores a afirmar que este geómetra ya conocía ciertos aspectos de la Geometría Analítica. De hecho ignorando el lenguaje de ésta se hace difícil explicar el hallazgo de Menecmo. Las cónicas de Menecmo tienen su origen en los intentos de Hipócrates de Quíos (hacia 400 a.C.) de resolución del problema clásico de la Duplicación del Cubo mediante la interpolación de dos medias proporcionales.
Lo que en nuestro lenguaje geométrico analítico realizamos utilizando las ecuaciones de las cónicas, Menecmo lo hallaría mediante la construcción de puntos de intersección de las cónicas obtenidas, desplazando convenientemente el plano de corte con el cono a fin de hallar cónicas con latus rectum conveniente al objetivo propuesto. Aunque según el testimonio de Proclo y Eutociusfue Menecmo el primero que descubrió las secciones cónicas, tal vez no fue así, ya que antes Arquitas de Tarento (hacia 400 a.C.), gran político reformador y maestro de Platón, había estudiado el problema de la Duplicación del Cubo, obteniendo las dos medias proporcionales mediante una compleja intersección de un cono de revolución, un cilindro de revolución y una superficie tórica. Así pues, Arquitas pudo haber estudiado la elipse como sección oblicua del cilindro. Por otra parte, después de la línea recta, es la elipse la curva más habitual en la experiencia, ya que los objetos circulares mirados de forma oblicua, así como la sombra que arrojan, son elípticos. Se ha especulado a veces incluso con un origen de las cónicas por generación cinemática como la Cuadratriz de Hipias o la Espiral de Arquímedes, pero parece desmentirlo la persistencia hasta el siglo XVII del nombre que los griegos dieron de Problemas sólidos a los que dependían de las cónicas para su resolución, como si se quisiera insistir en su origen estereométrico. Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta –directriz– y a un punto –foco– están en una determinada razón –excentricidad–. Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica y además, la trigonometría permite mediante la rotación de ejes pasar fácilmente de la ecuación de la hipérbola referida a sus ejes a la referida a sus asíntotas. De modo que realmente impresiona la extraordinaria habilidad de Menecmo descubriendo la más útil familia de curvas de toda la Matemática y de toda la Ciencia y en ausencia del instrumento y el simbolismo algebraicos. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico, Menecmo fue capaz de vincular ambos aspectos de las cónicas, mostrando que las secciones de los conos tenían importantes propiedades como lugares planos, traducibles en básicas expresiones geométricas (equivalentes a nuestras ecuaciones), que permitían deducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cónicas, que serían plasmadas por Apolonio en los primeros libros de Las Cónicas. Es bajo esta visión sobre el trabajo de Menecmo que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria y Heath) reclaman para los griegos, y empezando por Menecmo, la paternidad de la Geometría Analítica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemática el estudio de los lugares por medio de ecuaciones. Euclides escribió, además de Los Elementos, otras muchas obras de las que tenemos constancia e incluso fragmentos a través de ElTesoro del Análisis de Pappus. Una de ellas fue un trabajo sobre secciones cónicas, incorporado más tarde a Las Cónicas de Apolonio. Asimismo, los importantes resultados de Arquímedes acerca del área del segmento parabólico, aplicando el método de exhaución en la obra Sobre la Cuadratura de la Parábola y el método mecánico en la obra Sobre el Método relativo a los teoremas mecánicosdedicado a Eratóstenes pone de relieve el avanzado desarrollo de la teoría de las secciones cónicas en la época de Arquímedes, ya muy próxima a los tiempos en que Apolonio concibió Las Cónicas. Las Cónicas de Apolonio Durante más de ciento cincuenta años, las curvas introducidas por Menecmo se llamarían a partir de la descripción trivial de la forma cómo habían sido descubiertas, es decir, mediante las perífrasis: sección (perpendicular a una generatriz) de cono acutángulo, rectángulo y obtusángulo para la elipse, parábola e hipérbola, respectivamente. Fue Apolonio en Las Cónicas quien no sólo demostró que de un cono único pueden obtenerse los tres tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono, lo cual era un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los tres tipos de curvas, sino que demostró que el cono no necesita ser recto y consideró, asimismo, el cono con dos hojas, con lo que identifica las dos ramas de la hipérbola. LA GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS DE APOLONIO
Además, siguiendo probablemente una sugerencia de Arquímedes, Apolonio acuñó para la posteridad los nombres de elipse, parábola e hipérbola para las secciones cónicas. A lo largo de la Historia de la Matemática, los conceptos han sido siempre más importantes que la terminología utilizada, pero en este caso el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio, tiene una importancia más allá de lo meramente nominalista. Los términos adoptados en realidad no eran nuevos, sino que procedían, como sabemos, del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Areas. Elipse significa deficiencia; Hipérbola significa exceso (en el lenguaje ordinario una hipérbole es una exageración); y por ultimo Parábola significa equiparación. El cambio de nomenclatura envolvía un cambio conceptual, toda vez que las cónicas ya no serían descritas constructivamente, sino a través de relaciones de áreas y longitudes, que daban en cada caso la propiedad característica de definición de la curva y expresaban sus propiedades intrínsecas. Por ejemplo, la conocida ecuación de la parábola con vértice en el origen es y2=lx, donde l es el latus rectum o parámetro doble que se representa por 2p. Esta expresión de la parábola en forma de ecuación sintetiza precisamente el farragoso y larguísimo enunciado de la Proposición I.11 de Las Cónicas en forma de propiedad que cumple la sección cónica considerada, bautizada por Apolonio justamente aquí con el nombre de Parábola. Este enunciado muy resumido viene a decir: «La Parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto tomado sobre la curva, el cuadrado construido sobre su ordenada y es exactamente igual al rectángulo construido sobre la abcisa x y el latus rectum l». Análogamente, Apolonio hará lo propio para la hipérbola y la elipse en las dos proposiciones siguientes que redactadas en un retórico lenguaje abstruso y prolijo, se puede simplificar en la forma siguiente Proposición I.12 (resp. I.13): «En la sección cónica considerada [llamada hipérbola (resp. llamada elipse)], el cuadrado de la ordenada equivale a un área rectangular aplicada siguiendo el latus rectum, es decir, teniendo el latus rectum como altura, y teniendo la abscisa como base, aumentada (resp. disminuida) de otra área semejante a la que tenga el eje transverso o diámetro como base, y la mitad del latus rectum como altura». Simplificando todavía más, mediante ecuaciones, como en el caso de la parábola, el complejo lenguaje de Apolonio, designando: para la hipérbola a el eje transverso o diámetro y b el eje no transverso, para la elipse a y b los ejes, y para ambas cónicas y la ordenada, x la abscisa, y l el latus rectum, podemos traducir los enunciados de las proposiciones I.12 y I.13 en las relaciones: Hipérbola: y2= lx + (b2/a2) · x2o bien[(x+a)2/a2] – [y2/b2] = 1 Elipse: y2= lx – (b2/a2) · x2o bien [(x–a)2/a2] + [y2/b2] = 1 ecuaciones de la hipérbola y de la elipse, respectivamente, referidas a uno de sus vértices como origen de coordenadas donde concurren como ejes de coordenadas un diámetro y la tangente a la cónica en su extremo, y donde el latus rectumo parámetro l es: l=2b2/a.
Lo que demuestra Apolonio en la Proposición I.13, con un lenguaje retórico, es que hay una relación constante entre ciertas áreas, el cuadrado de lado la cuerda PQ y el rectángulo determinado por los segmentos OQ, QR del diámetro. En particular se verificará:
Tomando coordenadas con origen en el vértice O, y llamando x, y, a, b y l, como antes, se tiene:
Vemos que las relaciones de áreas de Apolonio, que expresan propiedades intrínsecas de la curva, se prestan, con suma facilidad, a ser traducidas en el ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones, lo cual permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la principal finalidad programática de la Geometría Analítica. A la vista de las expresiones obtenidas para las cónicas, trasunto de la propiedad fundamental que satisfacen como lugares planos, se aprecia que, en el caso de la elipse y2<lx, mientras que para la hipérbola y2>lx. Estas propiedades de las curvas expresadas por estas desigualdades son las que sugirieron, con base en el lenguaje griego ordinario, los nombres de las cónicas: parábola, elipse e hipérbola, bautizadas por Apolonio hace más de dos mil años. Así los nombres no sólo no son arbitrarios sino que responden a la semántica de los términos y han sido tan afortunados que han quedado firme y unánimemente asociados al diccionario geométrico de las cónicas para siempre. Las Cónicas de Apolonio fueron escritas en ocho libros de los que conservamos siete gracias a los trabajos de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.) y de Edmond Halley (1656-1742). El Libro I de Las Cónicas de Apolonio se inicia con la generación de las cónicas, pero una vez que se obtienen mediante consideraciones estereométricas las relaciones básicas entre lo que llamaríamos las coordenadas de un punto de la curva en el plano, expresadas por las ecuaciones descritas, Apolonio se dedica a estudiar por métodos planimétricos las propiedades fundamentales de las cónicas, incluyendo tangentes y diámetros conjugados, a partir de esas ecuaciones planas, obviando toda referencia explícita al cono generador. Apolonio utiliza de forma sistemática un par de diámetros conjugados o un diámetro y una tangente como equivalente de un sistema de coordenadas oblicuas, habiendo demostrado previamente que si se traza una recta por un extremo de un diámetro de una elipse o de una hipérbola, paralela a su diámetro conjugado, la recta trazada es tangente a la cónica. El sistema de referencia diámetro–tangente se muestra de una significativa utilidad ante la invariancia de la ecuación de la cónica frente a un cambio de referencia diámetro–tangente de un punto a otro punto de la cónica (Proposiciones 41 a 49). En particular, Apolonio conocía las propiedades de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas xy=a2. El Libro II abunda en nuevas propiedades y hace un estudio exhaustivo de las asíntotas. Al final del Libro estudia el problema de trazar una tangente que forme un ángulo dado con el diámetro que pasa por el punto de contacto. El Libro III estudia primero propiedades de triángulos y cuadriláteros determinados por tangentes y diámetros conjugados y otras propiedades de las tangentes, entre ellas se establece, en la Proposición 41, cómo tres tangentes a la parábola se cortan en la misma razón de modo que la parábola resulta envolvente de las rectas con esta propiedad. En la proposición 43 aparece la hipérbola como lugar de puntos tales que xy=constante, donde x e y son abscisa y ordenada respecto a los ejes constituidos por las asíntotas. Después Apolonio estudia una serie de hermosas propiedades focales, entre las que destacan las Proposiciones 51 y 52 que permiten el trazado de estas cónicas mediante una composición de movimientos continuos y que sirven para definirlas de forma planimétrica como lugares geométricos:
En el Libro IV se estudian los puntos de intersección de las cónicas. Destaca la Proposición 9 que exhibe un método de trazar dos tangentes a una cónica desde un punto. El Libro V es una de las principales obras maestras de la Geometría griega. Está dedicado a los segmentos máximos y mínimos, es decir, a la distancia máxima y mínima de un punto a los de una cónica –las rectas normales–. En este Libro encontramos el germen de la teoría de evolutas y evolventes que figura en la obra de Huygens Horologium Oscilatorium de 1673. Al intuir el concepto de curvatura, Apolonio se sitúa en las raíces de la Geometría Diferencial. En las Proposiciones 51 y 52,mediante métodos puramente sintéticos, Apolonio obtiene la evoluta de las cónicas como lugar de los centros de curvatura, mediante la determinación del número de normales distintas desde cada punto. Por ejemplo, para la elipse y la hipérbola: (x2/b2)+ (y2/b2)=1,el brillante resultado equivale a describir de forma sintética las curvas que en el lenguaje de la Geometría Analítica tendrían por ecuación: (ax)2/3 ± (by)2/3 = (a2 ± b2)2/3 , [ signo + para la elipse, signo – para la hipérbola]. En las proposiciones 55-63 Apolonio construye la normal a una cónica desde un punto exterior mediante la intersección de la cónica dada con una hipérbola equilátera, llamada Hipérbola de Apolonio asociada al punto. El Libro VI está dedicado a la igualdad y semejanza de cónicas. Sobresalen en este Libro las Proposiciones 28, 29 y 30, donde se resuelve el problema de dados una cónica y un cono circular recto hallar una sección del cono que sea igual a la cónica dada. El Libro VII relaciona numerosas propiedades de los diámetros conjugados entre las que sobresalen las de las Proposiciones 12 y 13 acerca de la constancia de la suma en la elipse y la diferencia en la hipérbola de los cuadrados de los diámetros conjugados. Las Cónicas de Apolonio en los manuscritos Vaticanos
En la base de la ilustración aparece un texto en latín de gran valor emblemático y metafórico sobre el significado de la Geometría como ciencia del espíritu, tomado del epígrafe primero del Prefacio del Libro VI de DeArchitectura de Vitruvio. Se trata de una exclamación promovida por la súbita presencia ante unos náufragos, como evidencia de la presencia de la civilización, de figuras sobre hipérbolas de Apolonio, que reza en estos términos:
En la Introducción de la edición de Ver Eecke (Les Coniques d’Apollonius de Perge. Blanchard, París, 1963, p.XLIX), el editor escribe:
Dos problemas históricos: el Problema de Apolonio y el Problema de Pappus
El Problema de Apolonio y el Problema de Pappus son dos célebres cuestiones geométricas de enorme relevancia histórica que tienen su origen en los trabajos de Apolonio. En una de las obras perdidas, Tangencias, aparece el famoso «Problema de Apolonio» cuyo enunciado es:
El problema da lugar a diez casos diferentes. Los dos más sencillos son: circunferencia que pasa por tres puntos (Euclides, IV.5) y circunferencia inscrita a un triángulo (Euclides, IV.4). Sobre el más complicado: «Dadas trescircunferencias hállese otra tangente a las tres», durante lo siglos XVI y XVII los eruditos sospecharon que Apolonio no lo había resuelto por lo que algunos matemáticos como Vieta (1540-1603) y Descartes se aplicaron a ello. Los matemáticos árabes Ibrahim ibn Sinan (909-946) y Ibn al-Haytham (965-1041) habían encontrado una solución mediante el Álgebra. Más tarde, Regiomontano (1436-1476) ensayó su resolución recurriendo a las secciones cónicas y Vieta da una solución puramente geométrica en su obra Apollonius Gallus. Después de haber dado la solución general, Vieta da cuatro soluciones particulares según que el cuarto círculo sea tangente en el interior o en el exterior de los otros tres. Descartes retoma el problema con los instrumentos algebraicos de La Geometría en su correspondencia de noviembre de 1643 con la princesa Elisabeth de Bohemia, donde más que resolver un problema geométrico (el problema ya lo habían resuelto otros matemáticos), se plantea un problema estético: ¿Cuál será la solución más hermosa? Newton le dio una solución sólo con regla y compás en el problema XLVII de su Arithmetica Universalis. En la Dedicatoria de las Cónicas, Apolonio hace alusión a otro problema que con el tiempo se convertiría en uno de las cuestiones más difíciles e importantes, sobre la que se pondrá a prueba la reconocida capacidad de las Geometrías Analítica de Fermat y Descartes para resolver antiguos y nuevos problemas. Se trata del «lugar geométrico determinado por tres o cuatro rectas» –para el caso general, Descartes lo bautiza como «Problema de Pappus»–:
Apolonio escribe al respecto (Les Coniques, Ver Eecke, 1963, p.2):
Pappus realiza en el Libro VII de la Colección Matemática un estudio exhaustivo del problema, propone la generalización a más de cuatro rectas – para tres o cuatro rectas el lugar resulta ser una cónica– y reconoce que con independenca del número de rectas involucradas en el problema, queda determinada una curva concreta. He aquí la observación más general sobre lugares geométricos de toda la Geometría griega, lo que implica, además, la consideración de infinitos tipos nuevos de curvas planas, algo esencial en un mundo geométrico tan limitado en cuanto a curvas planas. Naturalmente los métodos sintéticos le desbordan a Pappus en el abordaje del problema. El Álgebra sincopada de Diofanto no es aún un Análisis Algebraico. Cuando lo sea, tras la actuación del Arte Analítica de Vieta, el nuevo Álgebra simbólica actuará sobre el Análisis Geométrico de los griegos para dar a luz las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes como poderosos instrumentos algorítmicos de ataque de los problemas geométricos difíciles como el propio Problema de Pappus. EL PROBLEMA DE APOLONIO Y EL PROBLEMA DE PAPPUS:
Esta obra es la traducción al francés de A.Vasset de la obra de Vieta In Artem Analyticem Isagoge. A la izquierda figura la imagen de Apolonio y a la derecha la del propio Vieta llamado l'Apollonius français, por su interés en la restitución de las obras perdidas de Apolonio (sobre lo que había escrito el opúsculo Apollonius Gallus, publicado en París en 1600), donde resuelve el famoso Problema de Apolonio de los cuatro círculos tangentes, que evoca la figura que está a su pies. Vieta sostiene en su mano izquierda una diadema sobre a cual está escrito B+D, simbolizando su creación del cálculo literal del Álgebra simbólica del Arte Analítica. El Problema de Pappus en la edición latina de van Schooten de La Geometría de Descartes de 1659.
La influencia histórica de Apolonio. Coordenadas y Geometría Analítica A lo largo de las páginas anteriores hemos visto las importantes y originales aportaciones de Apolonio al acervo geométrico griego, con su abundante producción científica, entre la que sobresale el exhaustivo y especializado trabajo sobre las cónicas donde estudia las propiedades fundamentales de todos los clásicos elementos notables de estas curvas: ejes, centros, diámetros, asíntotas, focos, tangentes y normales; y lo hace con una maestría y amplitud que sólo en los últimos siglos se pudo agregar algo nuevo a lo que el Gran Geómetra descubrió. Apolonio incluso oteó algunas teorías modernas del ámbito de la Geometría Proyectiva como la de la polaridad y la generación de las cónicas por dos haces proyectivos que habría de desarrollar Steiner (1796-1863), de forma rigurosa, veinte siglos más tarde. También con su aproximación a los conceptos de envoluta y evolvente, en relación con los centros de curvatura, así como los de involuta y envolvente, en conexión con el estudio de variación de las tangentes, Apolonio se acerca a la Geometría Diferencial. Si en muchos ámbitos hay que conceder a Apolonio el valor de pionero, entre todos ellos hay que destacar su papel trascendental en el advenimiento de la Revolución científica a partir del Renacimiento. Así lo reconocen algunos sabios e historiadores de la ciencia: F.Vera en la obra Breve Historia de la Geometría (Losada, Buenos Aires, 1963, cap. IV.5, p.70), escribe:
También A.Koiré en Estudios de Historia del Pensamiento Científico (Siglo XXI, Madrid, 1971, cap.4, p.44), se expresa en términos parecidos:
Asimismo, B.Mandelbrot, en el artículo De Apolonio de Perga a Kepler (en Pensar la Matemática, Tusquets, Barcelona, 1984, cap.6, pp.115-116),viene a decir algo similar:
Otro rasgo de sutileza muy encomiable en Apolonio es su definitiva clasificación de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales, según que su solución exija,respectivamente, rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores. Se trata de una importante idea acerca de la elección de los instrumentos de solución adecuados, que viene a suponer una extensión de la glorificación platónica de la línea recta y el círculo de los problemas planos y que se traducirá más tarde en el estudio de la irreducibilidad de las ecuaciones a las que conducen los problemas geométricos. Es digno de recalcar que la idea de ajustar la categoría de los instrumentos geométricos a utilizar a la naturaleza de los problemas geométricos a resolver, en la línea de aplicar siempre los medios más simples posibles, será, no sólo un rasgo distintivo de las futuras Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes, sino un componente general de la mejor Matemática, ciencia en la que la elegancia y la economía en el razonamiento es un importante valor añadido. Con lo que se acaba de decir, entramos en lo que quizá es el aspecto más relevante de la influencia de Apolonio en el ámbito estricto de la Matemática: su incidencia histórica sobre la emergencia de la Geometría Analítica. En el estudio de las cónicas, Apolonio considera ciertas líneas de referencia (diámetros conjugados o diámetro-tangente), que juegan un papel de coordenadas. En el segundo caso, al tomar un diámetro y una tangente en uno de sus extremos como rectas de referencia, las distancias medidas a lo largo del diámetro a partir del punto de tangencia son las abscisas y los segmentos paralelos a la tangente, interceptada por el diámetro y la curva, son las ordenadas. Para cada cónica, la conocida relación de áreas y longitudes en forma de proporción (propiedad geométrica de la curva equivalente a su definición como lugar geométrico) se traduce en una relación entre las abscisas y las correspondientes ordenadas, que Apolonio llamaba el Symptoma de la curva y que no es sino la expresión retórica de la ecuación analítica de la curva, que en su evolución histórica daría lugar a la llamada por Fermat en su Introducción a los Lugares Planos y Sólidos –su Geometría Analítica– la Ecuación característica o Propiedad específica de la curva. El lenguaje de Apolonio es sintético, utilizando con una pericia increíble la técnica pitagórica de la Aplicación de las Áreas, pero sus «métodos de coordenadas» guardan una gran similitud con los de la Geometría Analítica. Al analizar la posición histórica de Apolonio en el camino hacia la Geometría Analítica digamos que, a pesar de los conceptos y elementos geométricos introducidos, que parecen emular la presencia de sistemas de referencia con coordenadas –abscisas y ordenadas– que permiten expresar las ecuaciones de las cónicas, estos sistemas de coordenadas aparecían siempre superpuestos a posteriori a las curvas para estudiar sus propiedades. En la Geometría griega, las coordenadas, variables y ecuaciones no eran elementos de partida, sino conceptos subsidiarios derivados de situaciones geométricas concretas de curvas que determinan las ecuaciones sin que se dé la situación inversa, es decir, que las ecuaciones determinen las curvas, ya que éstas siempre se producían mediante una construcción estereométrica como secciones de un sólido o de forma cinemática como composición de movimientos –tal es el caso de la Espiral de Arquímedes o la Cuadratriz de Dinostrato–, de forma que el conjunto de curvas manejadas por los griegos fue necesariamente muy limitado. Como manifiesta C.Boyer (Historia de la Matemática, Alianza, Madrid,1986, p.208):
No obstante lo dicho y con todas las limitaciones apuntadas –carácter sintético de la Geometría griega, ausencia de un Álgebra simbólica en sentido algorítmico, ...–, debemos ponderar la magnífica obra de Apolonio, primer estadio en la Historia de la Matemática sobre la aplicación de coordenadas al estudio de las propiedades de las curvas; y aunque el discurso retórico sustituye al simbolismo y la construcción geométrica a las técnicas algebraicas, las relaciones de áreas y longitudes mediante las que Apolonio expresa las propiedades intrínsecas de la curva se traducen con gran facilidad (y así lo hará Fermat) al ulterior lenguaje del Álgebra simbólica de ecuaciones que permitirá la asociación de curvas y ecuaciones, que es la verdadera esencia de la Geometría Analítica. Así pues, el trabajo de Apolonio –y antes el de Menecmo– inauguran una singladura histórica en una dirección que apunta hacia el desarrollo de las Geometrías Analíticas de Fermat y Descartes. En resumen, El Análisis Geométrico griego de Apolonio utilizaba un equivalente de las coordenadas pero sólo empleaba Álgebra Geométrica. El Arte Analíticade Vieta desarrolla el Álgebra simbólica pero no usa coordenadas. Al aunar ambos instrumentos, coordenadas y Álgebra literal, Fermat y Descartes alumbran la Geometría Analítica estableciendo un puente para transitar entre la Geometría y el Álgebra, lo que permite asociar curvas y ecuaciones, a base de aplicar el Análisis algebraico de Vieta a los problemas de lugares geométricos de Apolonio, definidos, en un sistema de coordenadas, por una ecuación indeterminada en dos incógnitas, llamada la ecuación de la curva, expresión que al estar intrínsecamente vinculada a la curva,implícitamente resume sus propiedades geométricas, las cuales se ponen de manifiesto de forma palmaria mediante el cálculo algebraico. Bibliografía Ediciones de Las Cónicas de Apolonio. 1. APOLONIO DE PERGA. 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Este artículo está dedicado con admiración a la figura humana, científica y didáctica del Profesor Miguel de Guzmán, egregio espíritu innovador en la Docencia y en la Investigación matemáticas. En diversos escritos manifestó que su afición a la Geometría le había estimulado a acercarse con gusto a las obras de Apolonio.
Por razones de simetría resulta que los segmentos PQ y RV son perpendiculares en el punto O, de modo que OP es la media proporcional entre RO y OV. Por tanto OP2=RO·OV.
Sea un cubo de arista a. A partir de la proporción continua: 
, resultado de interpolar dos medias proporcionales entre a y su doble 2a, se obtienen las parábolas x2=ay, y2=2ax, y la hipérbola equilátera xy=2a2.Tanto la intersección de las dos parábolas como la intersección de una de las parábolas y la hipérbola proporciona x3=2a3, es decir, la arista del cubo de volumen doble.
Veamos, en efecto, como se llega a estas ecuaciones en el caso de la elipse:
.
, de donde resulta:
, es decir:
, donde l=2b2/a es el latus rectum, como se quería probar.
Frontispicio de la edición príncipe de Edmond Halley de Las Cónicas de Apolonio de 1710. Es una obra monumental basada en la edición de Thabit ibn Qurra (hacia 856 d.C.).
Frontispicio de L'Algèbre nouvelle de Vieta, 1630. Biblioteca Nacional. París.
El Problema de Pappus (llamado en su enunciado más sencillo lugar de tres o cuatro rectas), es una de las cuestiones más importantes de toda la Historia de la Geometría, por ser la piedra de toque de aplicación de los diversos métodos y técnicas geométricos. Planteado por los geómetras griegos a partir de Euclides, estudiado por Apolonio y sobre todo por Pappus, su dificultad desbordaba, siglo tras siglo, las posibilidades del Análisis geométrico griego. El Problema de Pappus campea a lo largo de La Geometría de Descartes, como si fuera su punto de inspiración, casi como un reto a alcanzar. Como un bautismo de fuego que debe pasar su obra geométrica, será Descartes quien lo resuelva de forma brillante y general poniendo de manifiesto la potencia de unos métodos analíticos, que en el curso de los años se convertirán en la esencia de la Geometría Analítica.