Y sin embargo, no era así. Algún tiempo antes un grupo de jóvenes y brillantes matemáticos franceses, más o menos de la misma edad, y que tenían en común haber sido normaliens -es decir, haber estudiado en la famosa Escuela Normal Superior, donde se hicieron amigos, y ser profesores en universidades francesas de provincias, habían tenido, visto que no les agradaban los existentes, la idea de escribir un nuevo texto de Análisis. Empezaron a reunirse en algún café cercano a la Sorbona y el proyecto se amplió enseguida a un tratado que ofreciera de modo sistemático y riguroso todas las bases para una presentación de la matemática a la altura de los tiempos. Se pusieron a la tarea (detalles más abajo), adoptando el pseudónimo colectivo de Nicolas Bourbaki, pero la Segunda Guerra Mundial, que afectó gravemente a los interesados, retrasó en unos diez años la puesta en marcha de la redacción y publicación del grueso de la obra. Las notas antes citadas fueron una especie de presentación en sociedad, que no tuvo continuación, y el camino seguido para publicarlas fue hacer que Elie Cartan (1869-1951), uno de los grandes matemáticos franceses, y académico, padre de un miembro del grupo, las presentase. A Cartan padre se le hizo notar que era obligación de la institución cuidar el nivel científico de las notas, pero no los detalles biográficos de sus autores. El académico, que debía estar al cabo de la calle, hizo la propuesta a sus colegas cuando tomaban los licores al final de un banquete y no hubo ninguna objeción.

Entre los miembros fundadores estaban Henri Cartan (1904), el único todavía vivo, André Weil (1906-1998), Claude Chevalley (1909-1984), y Jean Dieudonné(1906-1992), todos ellos entre los matemáticos más importantes del siglo. Algunos otros, como Jean Leray, acudieron a las primeras reuniones y se retiraron. El grupo se organizó siguiendo una serie de normas y costumbres, entre las que estaban organizar el trabajo en reuniones, hechas en general en verano, de una o dos semanas en algún lugar agradable de la campiña francesa (A. Weil, de viaje por España, se enamoró de El Escorial y decidió que allí se haría una, pero las guerras lo impidieron). La materia se organizó en libros, divididos a su vez en capítulos. Una vez decidido escribir alguno, se encargaba una redacción a algún miembro, redacción que era criticada (a menudo ferozmente) y si no había acuerdo se encargaba una nueva a otro, proceso que podía repetirse varias veces más. Los miembros debían retirarse a los cincuenta años, para evitar el anquilosamiento, pero parece que no siempre fue así, y es evidente que algunos continuaron influyendo. Entre los que ingresaron después hay matemáticos tan conocidos como Laurent Schwartz (1915-2002), Medalla Fields en 1950, Jean- Pierre Serre (1926, Medalla Fields 1954, Premio Abel 2003), Alexandre Grothendieck (1928, Fields 1966), Roger Godement y Pierre Cartier. Otros, como René Thom (1923-2002, Fields 1958), no quisieron incorporarse.

Primer congreso Bourbaki (Julio 1935): de izquierda a derecha, de pie, H. Cartan, R. de Possel, J. Dieudonné, A. Weil, un técnico del laboratorio universitario; sentados, Mirlés, Cl. Chevalley, S. Mandelbrojt.

Aunque el tratado pretendía exponer las matemáticas de modo sistemático desde el principio, el orden de publicación de los capítulos no fue el lógico, sino el fruto de las circunstancias. En la publicación tuvo mucha importancia un judío mexicano, Enrique Freymann, que convenció a su editorial, la parisina Hermann (que, afortunadamente, no tuvo que arrepentirse, porque los libros se vendieron mucho mejor de lo que era de esperar). Comenzó en serio en los años cuarenta, después del final de la guerra, y tuvo sus mejores momentos, en cuanto a intensidad de publicación e influencia, quizá en los sesenta. A partir de ahí la actividad fue disminuyendo, y aunque no ha habido una declaración oficial de cierre, desde hace muchos años no se ha publicado ningún libro nuevo, limitándose la actividad a reediciones y traducciones al inglés. Todo hace pensar que no habrá nuevos capítulos, aunque se dice que hay redacciones inéditas. Incluso se ha publicado algún "fascículo de resultados" de un libro, pero no los capítulos correspondientes.

Una de las principales preocupaciones de Bourbaki fue, ya desde el comienzo, contrarrestar la aparente tendencia de la ciencia matemática a la dispersión en disciplinas más o menos aisladas. De ahí el nada inocente singular de "matemática" en el título. y la principal inspiración a que agarrarse a la hora de llevarlo a cabo, la línea estructural de la matemática alemana, presente sobre todo en el álgebra abstracta. Porque además los Bourbaki también estaban de acuerdo en la relativa crisis de la matemática francesa, con maestros (salvo E. Cartan) anquilosados y muchos jóvenes muertos en las trincheras del 14-18. Un primer faro fue Hilbert, a quien consideran padre la axiomática moderna con sus Fundamentos de la geometría(1899). Según escribe Dieudonné:

"Más que por sus geniales descubrimientos, es quizá por el sesgo de su espíritu que Hilbert ha ejercido la más profunda influencia en el medio matemático: él enseñó a los matemáticos a pensar axiomáticamente, es decir, a tratar de reducir cada teoría a su esquema lógico más estricto, desembarazado de la técnica contingente del cálculo".

Esta influencia se encarnó a su vez en la escuela alemana de álgebra, de tendencia abstracta e influida más o menos directamente por Hilbert, de la que fueron representantes principales E. Artin, E. Noether y otros, y cuyas aportaciones se condensaron en un libro particularmente oportuno y afortunado, el Algebra moderna, que publicó en 1931 el jovencísimo B.L.van der Waerden recogiendo los cursos de los anteriores, y que cambió la concepción de la materia en cuanto a las ideas principales y las relaciones entre ellas.

Pero hay también otra influencia, que es la de Dedekind, muy próximo a Cantor. Dedekind pareció inclinarse hacia una presentación de la matemática en términos de conjuntos y aplicaciones, aun sin adoptar siempre la forma axiomática en la exposición, y su teoría de ideales fue uno de los modelos del desarrollo posterior. También lo fue el cuidado por las aspectos organizativos, y la atención dedicada a las notaciones y la terminología. En cambio, ni Cantor ni Poincaré pesaron demasiado, aunque más el último.

Los Bourbaki emplearon dos instrumentos fundamentales para llevar a cabo sus fines, la axiomática y las estructuras, tal y como exponen en alguno de sus textos programáticos, el principal de los cuales es quizá "La arquitectura de las matemáticas" (véase la Bibliografía del final). Para ellos la axiomática, en su versión moderna, permite la unificación de la ciencia matemática ayudando a mostrar las relaciones y conexiones entre las distintas disciplinas:

"Lo que se propone como fin principal la axiomática es precisamente lo que el formalismo lógico, por sí sólo, es incapaz de suministrar: la inteligibilidad profunda de las matemáticas...el método axiomático enseña a buscar las razones profundas de este descubrimiento, a encontrar las ideas comunes sepultadas bajo el aparato exterior de los detalles propios de cada una de las teorías consideradas, a discernir estas ideas y llevarlas a la luz".

Y esta tarea de encontrar las ideas comunes a las distintas partes de la matemática se realiza ayudándose sobre todo de las estructuras, de las que en ese artículo no se ofrece una definición técnica en regla -lo que sí se hace en el tratado, pero sin utilizarla apenas después, como ha analizado en detalle L.Corry en su libro-, dándose tan sólo una idea general más o menos vaga, donde se insiste en que lo que importa no es la naturaleza concreta de los objetos involucrados, sino los axiomas de la estructura, e incluso llegan a afirmar que "las estructuras matemáticas se convierten, propiamente hablando en los únicos objetos de las matemáticas", algo que parece exagerado incluso desde su propio punto de vista.

Bourbaki distingue tres clases de estructuras-madre o fundamentales: las algebraicas, que hacen intervenir un conjunto con una o varias leyes de composición dotadas de ciertas propiedades y de las que son ejemplos los grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales, etc; las de orden. basadas en las relaciones de orden y de las que es ejemplo la de retículo; y las topológicas. a las corresponde todo lo relativo a las nociones de continuidad, límite, siendo ejemplos los espacios métricos y los topológicos, etc. Estos tipos de estructuras no son compartimentos estancos, sino que se combinan dando lugar a estructuras mixtas como los grupos ordenados, los grupos topológicos. etc. Por cierto que Piaget proporcionó un apoyo a tales distinciones a partir de algunas de sus experiencias en psicología evolutiva.

El método axiomático aporta una gran economía de pensamiento, y establece una comparación con la división del trabajo de las fábricas:

"Pero la comparación es defectuosa. El matemático no trabaja maquinalmente, como el obrero en la cadena. Nunca se insistirá demasiado en el papel fundamental que presenta, en sus investigaciones, una intuición particular -intuición que por otra parte, como toda intuición, a menudo se equivoca-, que no es la intuición sensible vulgar, sino más bien una especie de adivinación directa -anterior a todo razonamiento- del comportamiento normal que parece tener derecho a esperar por parte de entes matemáticos con los que ha tenido una frecuentación tan prolongada que se han convertido en entes casi tan familiares como los del mundo real. Pues cada estructura lleva en sí su lenguaje propio, cargado de resonancias intuitivas particulares...

Es decir, menos que nunca la matemática se reduce actualmente a un juego puramente mecánico de fórmulas aisladas, más que nunca la intuición reina soberanamente en la génesis de los descubrimientos. Pero dispone hoy en día de las potentes palancas que la suministra la teoría de los grandes tipos de estructuras y domina simultáneamente inmensos campos unificados por la axiomática, terrenos en los que antaño parecía reinar el caos más informe".

El propio Bourbaki se autocritica poniendo adjetivos como "esquemático" y "estereotipado" a este modo de proceder. Las estructuras no son algo fijado a priori, y no excluyen la posible aparición de otras nuevas (lo que, dicho sea de paso, no parece que haya sucedido). Y las observaciones -bien justificadas- de Corry acerca del olvido de la noción formal de estructura son compatibles con un empleo informal que ha sido, en el peor de los casos, de utilidad a la hora de organizar el taller de trabajo del matemático.

En cuanto al texto propiamente dicho, las definiciones y enunciados son precisos y las demostraciones completas, si bien a veces muy concisas. (Digamos, de paso, que ello era menos habitual hace 60 o 70 años que ahora, y que tal vez el propio Bourbaki ha contribuido en parte al cambio). No se motivan las nociones y conceptos introducidos y los ejemplos, cuando se dan, no suelen referirse al "mundo matemático exterior". No hay figuras -alguna hubo- ni se hace referencia a otros textos matemáticos. Muchos resultados conocidos y "aplicaciones" no se han incorporado al texto, sino que van en las listas de "ejercicios", a menudo muy difíciles, incluidas al final de los capítulos.

Hasta aquí la "forma", pasemos al "contenido". Según Dieudonné, Bourbaki pretendía "empezando desde el principio, poner los cimientos de todas las teorías existentes de la matemática pura" (primer subrayado de Bourbaki; segundo nuestro, J.H.), pero sólo unas líneas después se da una versión mucho más cercana a la realidad: Bourbaki ha eliminado, aparte de teorías abstractas gratuitas sin interés (por las que siente olímpico desprecio), han quedado fuera

i) Productos finales de teorías importantes que son ellas mismas callejones sin salida: por ejemplo, expone la teoría de Galois, pero no da la aplicación a la resolución de las ecuaciones de quinto grado;

ii) Partes de la matemática que tienen mucho interés pero que no se prestan a ser formuladas en sus términos; da como ejemplos la teoría de grupos finitos y la teoría analítica de números;

iii) Partes de la matemática en las que sí tienen un papel importante las estructuras, pero cuyo avance es tan rápido (el texto es de 1982) que cualquier presentación quedaría ya anticuada en el momento de escribirse: los ejemplos son la Topología Algebraica, la Topología Diferencial y la teoría de los Sistemas Dinámicos.

Fuera de lo anterior queda la cuestión, que al parecer se debatió durante largo tiempo, de si incluir o no la teoría de categorías, algo a primera visto muy afín al grupo.

Entre los libros publicados figuran: Teoría de conjuntos, Algebra, Algebra conmutativa, Topología general, Integración, Espacios vectoriales topológicos, Grupos de Lie, ...

La cita anterior se refería a la matemática pura. Pero continuaba así :

"Nunca se consideró la matemática aplicada, sobre todo a causa de la falta de competencia y de interés de los colaboradores; durante algún tiempo se jugó con la idea de incluir la probabilidad y el análisis numérico, pero se desechó enseguida".

Esta ausencia ha sido sin duda uno de los reproches hechos con más frecuencia y énfasis a Bourbaki. En otro lugar dice que:

"En la concepción axiomática, la matemática aparece, en suma, como un depósito de formas abstractas, las estructuras matemáticas; y resulta que ciertos aspectos de la realidad experimental vienen a moldearse, sin que se sepa muy bien por qué, en algunas de estas formas, como por una especie de adaptación previa",

en lo que no parece tanto una explicación como una forma de quitarse de encima una cuestión fastidiosa, una actitud que extienden a todo lo que se refiere a la filosofía de la matemática.

Por el contrario, sí se ocupan de la historia. Los libros van seguidos de "notas históricas", después recopiladas en el libro "Elementos de historia de las matemáticas". Estas notas, redactadas sobre todo por Dieudonné y Weil, de estilo y longitud muy desiguales, tratan sólo de las partes de la matemática expuestas en el tratado. Se ha repetido mucho la acusación de "presentismo", de historia escrita desde el presente considerando sólo el camino hacia las ideas "que han vencido" y prescindiendo de todas las demás.

Otra actividad ligada al nombre Bourbaki, y que viene funcionando sin interrupción hasta hoy, es el Seminario Bourbaki, que tiene lugar en París, y en el que distinguidos matemáticos dan seis conferencias exponiendo algunos de los resultados recientes más importantes.

Los Bourbaki han dicho a menudo que sus libros no estaban destinados a la enseñanza en ninguno de sus niveles (y menos a servir como libros de texto) sino que eran una especie de "caja de herramientas" para el investigador matemático. Sin embargo, hubo quien no lo entendió así, y quien escribe padeció en tercero de carrera un curso sobre algunos capítulos del Algebra: módulos planos, sucesiones exactas, etc. ¿Por qué?

Su nombre fue asociado igualmente al fenómeno de las llamadas "matemáticas modernas", con la modificación durante los años sesenta de los programas de matemáticas de la enseñanza secundaria introduciendo "los conjuntos", y las nociones y vocabulario de la matemática "estructural". Aunque ninguno de ellos intervino directamente en tales actividades y quien más se aproximó -Dieudonné-rechazó toda relación, no puede negarse que muchos de los patrocinadores franceses del movimiento eran partidarios entusiastas de Bourbaki formados en su lectura.

Todo indica que Bourbaki ha cesado (salvo las reediciones y el seminario, éste siempre autónomo) su actividad. ¿Nos dan los años transcurridos desde sus últimos libros hasta hoy perspectiva suficiente como para hacer un balance? Es difícil negar que la manera de hacer y de escribir la matemática ha cambiado mucho en los últimos cuarenta años, y en parte al menos bajo su influencia, que ha sido mucho mayor en Francia que en otros países como Estados Unidos o Rusia, y que ha ido declinando rápidamente en los últimos veinte años. Parece innegable su contribución a una cierta forma de organización de una parte de la matemática, desde las grandes líneas hasta cuestiones solo aparentemente secundarias como la terminología, con el uso informal de las estructuras, o las notaciones, dos terrenos en los que tuvieron cierto éxito.

Pero la matemática se hace y expone de formas que, se diría, van alejándose todavía más de las bourbakistas de lo que lo estaban en los sesenta o setenta.

En su artículo programático antes citado, Bourbaki se refiere a la vida interna de la matemática así:

"Es como una gran ciudad, cuyos suburbios no cesan de progresar, de manera un poco caótica, sobre el terreno circundante, mientras que el centro de reconstruye periódicamente, siguiendo un plan cada vez más claro y una disposición cada vez más majestuosa, echando abajo los viejos barrios y sus laberintos de callejuelas para lanzar, hacia la periferia, avenidas cada vez más directas, más amplias y más cómodas".

Siguiendo con la metáfora, digamos que todo sugiere que su arquitectura o, si se prefiere, su urbanismo -un tanto a lo Le Corbusier, se diría- han dejado de cultivarse hace tiempo y no parece vayan a volver. Todo induce a pensar que Bourbaki fue una respuesta muy particular a ciertas situaciones y que las que hoy se presentan requieren, no ya otras respuestas, sino otro tipo de respuestas.

BIBLIOGRAFIA COMENTADA:

Los libros de Bourbaki fueron publicados por la editorial Hermann, de París, hasta que tras algunos problemas, pasó a hacerlo recientemente Masson. Desde hace algunos años han empezado a aparecer versiones en inglés en Springer-Verlag. De las notas históricas hay versión castellana

N.Bourbaki. Elementos de historia de las matemáticas. Madrid, Alianza Editorial, 1976.

Los artículos "programáticos" antes citados son

N.Bourbaki. La arquitectura de las matemáticas. En F. le Lionnais (ed.), "Las grandes corrientes del Pensamiento matemático", Buenos Aires, Eudeba,1962, pp. 36-49. Los artículos de Dieudonné y Weil del mismo libro son también interesantes.

N.Bourbaki. Foundations of mathematics for the working mathematician. J.Symb. Logic 14(1949), 1-8.

Otro artículo especialmente iluminador es

J.Dieudonné. The work of Nicolas Bourbaki during the last thirty years. Notices of the Amer. Math. Soc., noviembre 1982, pp. 618-623.

Sobre Bourbaki se ha escrito mucho en forma de artículo, pero no puede decirse que haya ninguna monografía definitiva. La tesis doctoral de L.Beaulieu, que ha tenido acceso a material inédito, archivos, boletines internos, etc, y ha estudiado muchos aspectos de su evolución, no ha sido publicada en forma de libro. Puede verse también para una visión muy general.

M.Chouchan. Nicolas Bourbaki, Faits et legendes.Argenteuil, Editions du Choix, 1995.

Todo lo referente a la noción de estructura ha sido tratado a fondo en

L.Corry. Algebra and the rise of mathematical structures. Basilea, Birkhäuser, 1996.

Es posible encontrar igualmente información en los libros de recuerdos o memorias de dos de sus miembros

A. Weil. Recuerdos de agrendizaje. Madrid, nivola, 2003

L.Schwartz. Un mathématicien aux grises avec le siecle. Paris, Editions Odile Jacob,1997.

En lo referente a las "matemáticas modernas" pueden leerse los artículos de

J.Piaget y otros, La enseñanza de las matemáticas modernas. Selección y traducción de J.Hernández. Madrid, Alianza. 1978.

en especial los de Oieudonné v Thom.