Siempre he tratado, de acuerdo con mis fuerzas y en la medida de mi capacidad, de acabar con la dificultad y el tedio de realizar cálculos; el fastidio por tales es una forma habitual de disuadir muchísimo del estudio de las matemáticas. Con este objetivo ante mí, emprendí la publicación del Canon de los logaritmos, en el que he trabajado por un largo tiempo en años anteriores…

De esta forma se expresaba John Napier, barón de Merchiston, en el prefacio de la obra cuyo cuarto centenario celebramos y por la que es más reconocido: Mirifici Logarithmorun Canonis Descriptio.

Los avances científicos, especialmente los estudios astronómicos, requerían cada vez más, cálculos exhaustivos y precisos. La tarea era ingrata y laboriosa; por ello todo lo que se hiciera para simplificarla sería inmediatamente aplicado.

La sustitución del producto por la suma no era ninguna novedad: por medios trigonométricos ya era habitual realizar la sustitución:

sin(x)•sin(y) = ½ (cos(x-y)-cos(x+y))

La realización de raíces cuadradas y cúbicas se servía de algunas simplificaciones pero sus algoritmos exigían un esfuerzo que, como dice Neper, resultaba disuasorio.

A finales del siglo XVI ya había llegado el momento de simplificar tan tediosa y lenta logística. Cuando observamos los descubrimientos paralelos, como si asistiéramos a una carrera por alcanzar la meta de distintos corredores, vemos hasta que punto los avances pueden ser colectivos.

De los testimonios documentales sabemos que el suizo constructor de instrumentos y relojes, Jost Bürgi (1552-1632), ya había comunicado en 1588 al astrónomo Nicholaus Bär que tenía un método para simplificar los cálculos. De igual forma Napier, en carta a Tycho Brahe de 1594, había adelantado que estaba trabajando en su maravilloso canon.

En 1602, Bürgi obtuvo el privilegio en Praga de Rodolfo II para publicar sus Tablas de Progresiones, pero éstas, no vieron la luz hasta 1620 con el significativo título: Tafeln arithmetischer und geometrischer Zahlenfolgen.

Napier y Bürgi trabajaron por separado con la misma idea: la progresión geométrica permite transformar productos en sumas y raíces cuadradas en la sencilla operación de demediar. Fue el teólogo matemático escocés el triunfador para la posteridad pese a que sus tablas fueron pronto arrinconadas por las decimales de Henry Briggs, cuya Aritmética Logarithmica se público en 1624, y con tanto éxito que sus tablas han estado usándose durante siglos.

Si atendemos a las palabras de Roberto Napier, sería su padre el que había sugerido a Briggs la realización de tablas en base decimal en su encuentro de 1615. John Napier fallecería en 1617, de forma que su hijo Roberto y Henry Briggs fueron los encargados de publicar en 1619 la Mirifici Logarithmorun Canonis Constructio.

La Descriptio ofrece tablas de senos y formas de usarla en trigonometría plana y esférica pero será la Constructio la que nos cuenta cómo se las ingenió Napier para obtener las tablas de senos de números artificiales (sinus numerus artificiales), nombre que utilizará indistintamente con logaritmos. Las tablas dan el logaritmo de cada seno entre 0º y 90º hasta los minutos.

Las tablas de Briggs se hicieron pensando en forma aritmética y algebraica pero Napier todavía recurría a la geometría y a la cinemática. Se trata de un móvil que en tiempos en progresión aritmética se aproxima a su objetivo con velocidades decrecientes geométricamente.

Como cuando llega al objetivo la velocidad es cero, el logaritmo de ese número grande será cero. Napier utilizó diez millones (10^7) como número objetivo, cosa usual para los astrónomos desde su empleo por Regiomontano como valor del radio de la circunferencia. La tabla de logaritmos de los senos se construirá usando un decaimiento en progresión geométrica de 10^(-7) en cada paso, lo que hace que la razón sea 0,9999999. Expresándolo en notación actual como función exponencial, Napier calcula ingeniosamente la función:

Napier, para simplificar los cálculos, comienza dividiendo por diez millones y va restando sucesivamente, después por cien mil, para terminar dividiendo y trabajando con divisiones por 2000. Aunque siempre buscaba divisiones fáciles y simplificaciones para construir las tablas, luego vuelve atrás para reducir los errores a lo admisible.

Resulta interesante ver que sin conocer el número e, tanto Napier como Briggs, terminan topándose con él. Los logaritmos de Napier vienen a ser cologaritmos naturales o neperianos. En efecto si operamos con la exponencial (1), inversa y tomando logaritmos naturales:

Otro impacto importante de la obra de Napier fue la extensión de la notación de las fracciones decimales, punto incluido, que a partir de los logaritmos se generalizó. En la red podemos encontrar tanto los facsímiles de las ediciones originales en latín como traducciones inglesas comentadas. El libro conmemorativo del tercer centenario, John Napier and the Invention of Logarithms, 1614, de Ernest William  Hobson ha sido reeditado en 2011. La lectura de los pioneros, de sus tanteos y  caminar de ciegos es siempre edificante. Newton podía decir, con razón, tomándolo  de los escolásticos, que veía más lejos por ir subido a hombros de gigantes.