Fermat y Descartes
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Escrito por Antonio Pérez Sanz   

Aunque Fermat sea más conocido por su famoso "último teorema" que ha traído en vilo a los matemáticos durante más de 3 siglos, es junto a Descartes el padre de una aportación mucho más importante, la geometría analítica. Ambos estuvieron a un solo paso de algo mucho más notable: la creación de cálculo diferencial.

 
Rene Descartes. Retrato
 
Pierre de Fermat
Rene Descartes (1596-1650)
 
Pierre de Fermat

La Geometría. Descartes
"La Geometría"



Torbellinos Sistema Solar. Descartes
Los "torbellinos" del sistema solar. Descartes
 

"La Geometría" es uno de los tres ensayos que acompañan el Discurso del Método, y del que son un ejercicio de aplicación sistemática. Los otros dos ensayos son "Los Meteoros" y "La Dióptrica"

"La Geometría" está dividida en tres "Libros".
El primero de ellos trata "Sobre los problemas que pueden construirse empleando solamente círculos y líneas rectas". El segundo "Sobre la naturaleza de las curvas". El tercero "Sobre la construcción de problemas sólidos y supersólidos".

Su mayor aportación, es la combinación de recursos algebraicos y geométricos, para la resolución de problemas cuyo enunciado puede venir dado en forma de problema geométrico o algebraico.

La historia ha simplificado esta combinación reduciéndola a una simple traducción de curvas geométricas a ecuaciones algebraicas, pero Descartes en el libro tercero de la Geometría se recrea justo en el viaje en sentido contrario.

En él descubre la regla de la alternancia de los signos de los coeficientes de una ecuación:
Una ecuación tiene a lo sumo tantas raices "verdaderas" (positivas) como cambios de signos entre los coeficientes y tantas "falsas" como permanencias de signo.

Y demuestra que toda ecuación de cuarto grado es la intersección de una parábola con una circunferencia

 


Fermat contagió esta fiebre de buscar números amigos a su colega y competidor Descartes que encontró estos otros dos aún más sorprendentes: 9.363.584 y 9.437.056

Pierre de Fermat
Pierre de Fermat
 

Fermat nació en los albores del siglo XVII, en 1601 en Beaumont, un pueblo del suroeste de Francia. Su padre era un rico comerciante de pieles lo que le permitió realizar sus estudios de leyes en la Universidad de Toulouse, donde nunca destacó en Matemáticas.

No publicó en su vida ningún libro sobre matemáticas.
De hecho llegó a escribir a Pascal:

"No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos de exposición pública"

La Aritmética de Diofanto comentada por Fermat
La Aritmética de Diofanto comentada por Fermat
 

La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos.
Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años.

En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos


Los números amigos :
Los pitagóricos ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284. Relación bastante sutil por cierto.

Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110

Los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142.

En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho:

Si sumamos todos los divisores de 220:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 obtenemos 284, el segundo número.

Y si sumamos los de 284:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 obtenemos el primero 220

Con suma paciencia y una admirable visión numérica, tras más de dos mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos.
Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284.

Se trata de estos dos números: 17296 y 18416.


Descubre además una regla general (conocida por ibn Qurra):
"Si q = 3·2 p-1-1; r = 3·2 p - 1; s = 9·2 p-1-1
entonces
n = 2 p·q·r     y    m = 2 p·s

son números amigos"

17296 corresponde a los valores de p = 2; q = 5 y r = 11
18416 corresponde a los valores de p = 2; s = 71


Algunos de sus resultados en Teoría de Números

Así descubrió y demostró que el número 26 es el único que esta comprendido entre dos enteros, que son respectivamente un cuadrado 25 (5 al cuadrado) y un cubo 27 (3 al cubo)

52 < 26 < 33


Hay dos grandes familias de números primos:
Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17, 29, 37, 41...
Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47...

Fermat descubrió que todos los de la primera familia se pueden escribir como la suma de dos cuadrados.

Pero en cambio, NINGUNO, de los de la segunda familia se puede descomponer en la suma de dos cuadrados.


El pequeño teorema de Fermat :

Si a es un número natural cualquiera, por ejemplo 9 y p un número primo que no es divisor de a, por ejemplo 5; siempre se cumple que p, es este caso 5, es divisor exacto de a p-1 -1, en nuestro caso 95 - 1 - 1.
En efecto 94 - 1 = 6561 - 1 = 6560 que es divisible por 5


6560 : 5 = 1312.

Esta brillante joya numérica se conoce como el "pequeño teorema de Fermat".

Y, cómo no, fue demostrado por Euler cuando tenía 29 años.


Su gran fallo:

Fermat afirmó que todos los números de la forma 2(2)n + 1 son números primos
Euler se encargaría de demostrar que por una vez Fermat estaba equivocado:

Si n = 5 232 + 1 = 4.294.967.297 = 641 x 6.700.417
no es primo


La Observación es el enunciado del último teorema
X n + Y n = Z n

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que dicha demostración quepa en él"

Pierre de Fermat

Teorema 

Euler lo demostró para n = 3 y n = 4

Dirichlet y Legendre para n = 5

Lamé para n = 7

Kummer para todos los primos menores que 100 salvo para n = 37, 59 y 67


Wiles. En 1994 demostró al fin el último teorema de Fermat  
Andrews Wiles
  
Andrews Wiles


Artículo de periódico: Wiles demuestra el teorema
 

El 25 de octubre de 1994 es un día que pasará a la historia de las Matemáticas.
Ese día un joven matemático inglés Andrews Wiles presentó dos manuscritos - unas 130 páginas en total - que contenían la demostración del Último Teorema de Fermat

"La solución de un problema legendario conmociona el mundo de las matemáticas"

  

Modular elliptic curves and Fermat´s Last Theorem
 

Wiles, tuvo que utilizar unas técnicas matemáticas descubiertas a lo largo de los siglos XIX y XX, inaccesibles por su complejidad para la mayoría de los matemáticos actuales. Por supuesto muy alejadas de los conocimientos matemáticos de la época de Fermat.

"Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem"
  

Teorema de Fermat demostrado
 El último teorema de Fermat demostrado

En la época de Fermat y Descartes un aristócrata inglés va a patentar un poderoso método de cálculo, sin duda el más popular de la historia: los logaritmos.

 
Tablas de logaritmos de Neper
  
Tablas de logaritmos de Neper

 
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