Cayetano Ramírez López
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Jueves 08 de Mayo de 2008

En la exposición “Arte y Matemáticas” el escultor Cayetano Ramírez López presenta varias esculturas como ejemplos donde se combinan diferentes aspectos del arte y de las matemáticas. La exposición está organizada bajo los siguientes lemas:

  1. El arte, una herramienta para las matemáticas. Bajo este lema se presentan tres esculturas de superficies algebraicas cúbicas. Con el fin de poder visualizar dichas superficies y sus propiedades, el escultor ha creado tres esculturas en poliéster.
  2. La naturaleza, fuente de inspiración para Artistas y Matemáticos. A este grupo pertenecen varias esculturas de diferentes tipos de caracoles y una superficie fractal. El artista, para la realización de su trabajo, se inspira en formas ya existentes en la naturaleza para realizar su escultura utilizando además una piedra que contiene fósiles. El matemático, por otro lado, percibe al observar las esculturas las propiedades matemáticas de las superficies geométricas representadas en ellas.
  3. Las matemáticas, una herramienta para el arte. Bajo este lema se construyen dos esculturas representando la superficie topológica llamada botella de Klein. Una de ellas, fabricada en piedra, siguió una realización más libre por parte del artista Cayetano, mientras que en la segunda escultura, realizada en escayola, se aprecia el interior de la superficie, así como su autointersección.

CAYETANO RAMÍREZ LÓPEZ

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SOBRE LA EXPOSICIÓN:

Esta es una exposición itinerante: los interesados en adquirir temporalmente las esculturas (o algunas de ellas) pueden contactar con Carmen Perea Marco en Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla .

Exposición en DivulgaMAT

Nuestro más sincero agradecimiento a Cayetano Ramírez López, Mari Carmen Perea e Irene Polo por permitirnos incluir esta exposición en DivulgaMAT.


Catálogo de Obras:

Superficie de C...
Superficie de Clebsch
Superficie de C...
Superficie de Cayley
Superficie cúbi...
Superficie cúbica
Superficies Cúb...
Superficies Cúbicas
Caracol
Caracol
Caracol
Caracol
Espiral de Arqu...
Espiral de Arquímedes
Cicloide Espira...
Cicloide Espiral
Espiral Cónica
Espiral Cónica
Nautilida
Nautilida
Romanesco (frac...
Romanesco (fractal)
Botella de Klei...
Botella de Klein

Lema 1: El arte, una herramienta para las matemáticas

Superficies cúbicas a través de la historia

A. Cayley
A. Cayley (1821-1895)

G. Salmon
G. Salmon (1819-1904)
  • 1849 descubren que cualquier superficie cúbica sobre los complejos que no tenga singularidades contiene exactamente 27 rectas.

Superficies cúbicas sin singularidades

A. Clebsch
A. Clebsch (1833-1872)
  • 1871 Introduce la superficie cúbica diagonal conocida con el nombre de Clebsch, cuya propiedad es que las 27 rectas son reales, y cuya ecuación es:
    x0 + x1 + x2 + x3 + x4 = 0
    x03 + x13 + x23 + x33 + x43 = 0

Superficies cúbicas con singularidades

L. Schlafli
L. Schlafli (1814-1895)
A. Cayley
A. Cayley (1821-1895)
C. Rodenberg
C. Rodenberg (1851-1933)
1863 y 1869 respectivamente, introducen la clasificación de las superficies cúbicas complejas en 20 tipos.
Posteriormente, Rodenberg completa la serie de superficies cúbicas con singularidades construyéndolas en escayola.

Representaciones gráficas y tridimensionales de las superficies cúbicas a lo largo de la historia

1872 Adolf Weiler realiza el primer modelo en escayola de la superficie de Clebsch.

superficie de Clebsch

1899-1935 La firma alemana Martin Schilling se dedicó ha realizar más de 40 series de modelos matemáticos dedicados principalmente a la docencia en la universidades del norte de Europa. Algunos de los modelos de superficies cúbicas con singularidades los podemos encontrar en la Universidad de Groningen.

1987 H. Knörrer and T. Miller introducen una nueva clasificación topológica de las superficies cúbicas reales con singularidades, estableciendo 45 tipos distintos.

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

superficies cúbicas reales con singularidades

(Imágenes cedidas por Oliver Labs)

1999 en conmemoración del 150 aniversario del nacimiento de Felix Klein el matrimonio Claudia Carola Weber y Ulrich Forster realizan la escultura en barro refractario de la superficie de Clebsch. Situada en la cafetería de la Universidad de Düseldorf en Alemania.

escultura en barro refractario de la superficie de Clebsch

2004 O. Labs y J. Chertok programan una impresora 3D para realizar en escayola diferentes superficies cúbicas. Con las mismas técnicas pero utilizando otros materiales como bronce, zinc o plástico, Chertok ha realizado también numerosas esculturas de superficies cúbicas en dimensiones reducidas (máximo 20cm de altura).

impresora 3D escayola

impresora 3D

2005 El escultor Cayetano Ramírez realiza un modelo en escayola de la Clebsch para la Univ. de Groningen.

modelo en escayola de la Clebsch


La nueva generación de esculturas de superficies cúbicas. Proceso de creación

Notar: todas las representaciones escultóricas realizadas hasta el momento de superficies cúbicas no representan realmente la superficie matemática, pues son sólidas. ¿Podríamos realizar representaciones de las superficies cúbicas que sean al mismo tiempo esculturas y que realmente representen la superficie desde el punto de vista matemático?.

La respuesta es . A continuación presentamos el proceso y resultado.

En primer lugar representamos en el ordenador las superficies matemáticas que queremos que el escultor realice con todas sus rectas. En nuestro caso hemos utilizado el programa de libre distribución POV-Ray.

superficie 1superficie 2superficie 3

En segundo lugar realizamos un programa para poder representar el contorno y diferentes secciones de las superficies.

secciones

En tercer lugar comienza el trabajo del escultor. Con algunas medidas y los planos impresos a escala real se construyen patrones que utilizará el escultor como referencia para conseguir la mayor precisión posible en las esculturas.

patronespatrones

El material utilizado para construir la base de las figuras es poliestireno:

figura figurafigura

figurafigurafigura

En cuarto lugar, una vez obtenidas las figuras perfectamente definidas y con las rectas representadas con hilos se le aplica la fibra de vidrio con resina de polyester. Finalmente, cuando la resina seca la figuras de poliestireno se destruyen obteniendo los resultados que se contemplan:

Figuras de poliestireno
Figuras de poliestireno, antes de aplicar la resina


Lema 2: La naturaleza, fuente de inspiración para Artistas y Matemáticos

La espiral en el reino animal y en las matemáticas

Espiral de Arquímedes. La espiral más simple. Es muy fácil reconocerla: la anchura de sus espiras es siempre la misma.

La naturaleza no es muy pródiga a la hora de mostrarnos este tipo de espiral. Aunque si como motivo ornamental desde las épocas más remotas. También la puedes contemplar en esta exposición. Que disfrutes de su belleza.

Si observamos el perfil de las siguientes conchas es fácil comprobar que no estamos ante una espiral de Arquímedes. El crecimiento de estas formas es un crecimiento gnómico, es decir, se produce por acumulación de partes sucesivas, similares en forma y que aumentan de tamaño en proporción gnómica. Por tanto, comprobaremos que describe una hélice cónica de forma que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, es decir, una Espiral logarítmica.

conchasconchas

conchas

La espiral logarítmica cuya ecuación polar es ρ = keat en general no se puede construir con regla y compás. Sin embargo, la espiral de Durero y la espiral de Fibonacci, que son casos particulares, si se pueden construir.

Espiral logarítmica

Espiral logarítmica

espiral áureaLa espiral aúrea se construye a base de unir de forma adecuada tramos de cincunferencia y se basa en la propiedad del rectángulo aúreo de dividirse en un cuadrado y un rectángulo que a su vez es aúreo.

La espiral de Fibonacci se construye formando una sucesión de cuadrados cuyos lados forman la sucesión de Fibonacci.

espiral de Fibonacci


Caracoles en amarillo fósil

Características de Amarillo Fósil

En la cantera de Amarillo Fósil nos encontramos con una piedra formada a base de la sedimentación y petrificación de moluscos y otras criaturas marinas. Este hecho, además de probar que alguna vez esta zona estuvo cubierta de agua, también fue el hecho que propició que Cayetano viera que cada uno de los bloques que tenía de esta piedra contenía dentro un caracol diferente. Algunos de ellos son lo que exposición se muestran en esta exposición.

cantera de Amarillo Fósil

cantera de Amarillo Fósilcantera de Amarillo Fósil

Proceso de realización: Todos los caracoles que en esta exposición se presentan se han realizado utilizando la técnica de talla directa. Es decir, dibujando sobre el bloque de piedra la espiral correspondiente a la proyección de la concha que se quiere obtener y esculpir con martillo, cincel, un poco de paciencia y otro poco de arte.

Proceso de realizaciónProceso de realizaciónProceso de realización


FRACTALES

¿QUÉ ES UN FRACTAL?

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura y tienen la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe.

Conjunto de Mandelbrot (imágen de la derecha)

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot

Conjunto de MandelbrotConjunto de Mandelbrot

EJEMPLOS DE FRACTALES

Copo de nieve de Koch
Es una de las más sencillas figuras fractales. Fue inventada por el matemático sueco Helge von Koch y se obtiene subdividiendo un triángulo como muestra la siguiente figura.

Copo de nieve de Koch

Conjunto de Julia
El conjunto de Julia es una familia de conjuntos fractales parametrizados por un complejo.

Conjunto de Julia

Triángulo de Sierpinski
Fue introducido por el matemático polaco Waclack Sierpinski. Partimos de un triángulo equilátero, marcamos los puntos medios de sus lados y extraemos el triángulo interior. Se repite el proceso con los tres triángulos que quedan y así sucesivamente.

Triángulo de Sierpinski

NATURALEZA FRACTAL: EL ROMANESCU

Existen numerosos ejemplos de fractales en la naturaleza, como, por ejemplo, las hojas de algunos helechos. Como podemos observar en la hoja de helecho de la figura, cualquiera de sus partes es similar al total.

hojas de helechos

El romanescu es un híbrido de brócoli y coliflor.

romanescu

trozos de romanescu


Lema 3: Las matemáticas, una herramienta para el arte

La topología: las matemáticas de la distorsión

La topología es un tipo de geometría que estudia propiedades de los objetos invariantes bajo la acción de transformaciones continuas. Una transformación continua sobre un objeto es algo que lo deforma, lo sube, lo baja, lo voltea, lo mueve de un lado a otro, pero no lo rompe ni lo pega sobre sí mismo. Por esta razón, se dice que un topólogo es una persona que no sabe distinguir entre un donut y una taza de café. En efecto, imaginemos que la rosquilla está hecha de goma elástica y observemos cómo se transforma en una taza de café sin romper, atravesar, unir o separar ninguna de sus partes.

de un donut a una taza de café


LA BANDA DE MÖBIUS

Superficies cerradas como la esfera y el toro, tienen dos caras, pero existen superficies con una sola cara. Un ejemplo es la banda de Möbius, descubierta por August Ferdinand Möbius, que se obtiene tomando una larga tira rectangular de papel y uniendo sus extremos después de darle media vuelta.

tira de papel convertida en banda de Möebius

Si tratáramos de pintar un lado de un color y el otro lado de otro, llegaría un momento en que ambos colores chocarían, ya que, en realidad, estamos pintando el mismo lado. Esto pasa porque la banda de Möbius sólo tiene una cara. En matemáticas se dice que es un objeto no orientable.

banda de Möebius pintadabanda de Möebius


LA BOTELLA DE KLEIN

El matemático alemán Felix Klein, siguiendo las directrices de Möbius, ideó una botella con una sola superficie, la llamada botella de Klein. Éste es un ejemplo de una superficie cerrada de una sola cara, sin ningún tipo de borde y que además no posee ni interior ni exterior. La botella de Klein también es una superficie no orientable.

corte transversal a la botella de Klein

Botella de KleinUn hecho curioso es que la botella de Klein se puede obtener pegando dos bandas de Möbius por sus bordes. Para convencerse de este hecho, basta efectuar un corte transversal a la botella.

Para construir la botella de Klein, consideramos un cilindro, al que le hacemos un pequeño agujero. Introducimos entonces el otro extremo del cilindro por dicho agujero. Observemos que hemos cortado un trozo de nuestro espacio. Realmente la botella de Klein “no vive” en el espacio tridimensional, sino que lo hace en el espacio equivalente de cuatro dimensiones (esto es, en tal espacio podemos hacer el pegado de los extremos del cilindro sin necesidad de cortar ningún trozo de la botella).

construcción de la Botella de Klein

 
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