Los Elementos de Euclides en castellano |
Escrito por Juan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a distancia de Gipuzkoa) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Martes 01 de Noviembre de 2005 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÍNDICE DE LA EXPOSICIÓN
1. Presentación
La geometría ha tenido durante muchos siglos un libro de “Elementos” en el que se encontraban recogidos sus principios. Al parecer, lo escribió un griego llamado Euclides que vivía en Alejandría hace 2300 años. Desde aquella época hasta hoy ha pasado mucho tiempo y el texto del libro ha tenido numerosos cambios. Muchos estudiosos se han dedicado durante los dos últimos siglos a recuperar la redacción original, porque se piensa que los Elementos son una obra fundamental en la historia de las matemáticas. Pero las variaciones que se introdujeron a lo largo del tiempo también tienen interés porque nos ayudan a conocer la forma de entender la geometría en las distintas épocas y en los diferentes países. Aquí se comentan las modificaciones que se introdujeron en las ediciones en castellano, desde la invención de la imprenta hasta nuestros días. Pero, para comenzar, se resume brevemente la manera en que se produjo la transmisión de los Elementos de Euclides desde la antigua Grecia hasta el Renacimiento, que fue cuando comenzaron a publicarse traducciones al español.
2. Orígen y transmisión de los Elementos Es difícil asegurar algo sobre una obra escrita hace más de dos mil años de la que no se conserva ninguna copia antigua. Pero los estudiosos, partiendo de muchas fuentes distintas y de análisis matemáticos, lingüísticos y arqueológicos de los textos encontrados, se han puesto de acuerdo en una redacción que se cree que es, aproximadamente, la versión de los Elementos que se utilizaba en la antigua Grecia. Además. la hipótesis más aceptada es que ese texto lo escribió un matemático llamado Euclides que vivó realmente en Alejandría en los ss. IV-III a. d. C.
No se cree que el tratado que conocemos sea la obra colectiva de varios autores diferentes. Ni que sea el resultado de la labor de varios compiladores y comentaristas posteriores sobre algunos libros antiguos de geometría, aunque algunos historiadores lo defienden. Eso no quiere decir que todo lo que está en los Elementos fue descubierto por Euclides. Como en todos los libros que contienen las bases de una ciencia en este tratado se han incorporado las teorías de varios sabios anteriores. Se cree que los libros II, IV, VII, VIII y IX desarrollan teorías descubiertas por matemáticos de la escuela pitagórica. Los libros V y XII reproducen resultados que se atribuyen a Eudoxo. El libro XIII se considera que tiene su origen en los escritos de Teeteto. Además, Euclides debió inspirarse en otros tratados de geometría anteriores, como los de Hipócrates de Quios, Leon o Teudio de Magnesia, que no han llegado hasta nosotros. Pero la labor de Euclides no fue solamente la de un recopilador. Algunas cuestiones, como el postulado de las paralelas o la generalización del teorema de Pitágoras del libro VI, se cree que fueron descubiertas por él. Sobre todo, supo presentar los resultado con un orden y una coherencia que superaban las de todos los matemáticos anteriores, de tal forma que los escritos de sus antecesores dejaron de copiarse y estudiarse hace muchos siglos.
3. La Antigüedad No es raro que no nos haya llegado ningún ejemplar antiguo de los Elementos porque los griegos solían escribir sus textos en papiros, materia que sólo aguanta bien en climas calurosos y secos.
Se ha encontrado alguna cerámica del 225 a. d. C. con textos que pueden ser de los Elementos y se puede asegurar la existencia de ese libro en la antigua Grecia porque varios escritos de esa época los citan.
Cicerón (106- 43 a. d. C.), por ejemplo, los menciona. Pero la copia completa más antigua que se conserva se escribió el 888 a. D., es decir unos 1.200 años después de que se redactara el tratado. Se han podido rehacer, a partir de datos indirectos, las vías por las que se transmitió el texto hasta el medievo y los cambios que fue sufriendo la redacción original en la Antigüedad. Se sabe que copiaron y comentaron los Elementos de Euclides Herón (siglo I a. d. C. a I a. D.), Porfirio (s. III), Teón (s. IV), Pappo (s. IV), Proclo (s. V), Boecio (s. V y VI) y Simplicio (comienzos del s. VI).). La versión antigua de la que han llegado más copias es la de Teón de Alejandría, pero este compilador realizó varios cambios y se cree que es más correcta la de un manuscrito del s. X que se encuentra en el Vaticano. Por otra parte, algunos libros, como los Comentarios a los Elementos de Euclides del filosofo Proclo de Licia o la Colección Matemática de Pappo, permiten conocer, además, las discusiones que hubo sobre el contenido de los Elementos durante el Imperio Romano.
4. La Edad Media Durante la Edad Media el texto de los Elementos se transmitió por dos vías. Por una parte en los países cristianos, aunque no floreciera la geometría, se siguieron haciendo copias del texto, sobre todo en el Imperio Bizantino. Por otra parte, en el mundo árabe se tradujeron y se comentaron los Elementos, manteniéndose una tradición más viva, aunque menos fiel a Euclides. Los principales traductores al árabe fueron Al-Hajjàj (fl.786-833) e Ishàq-ben-Hunayn (siglo IX).
De la versión del primero sólo ha llegado un resumen. De la traducción del segundo llegó a Occidente la revisión que de ella hizo Thàbit ibn Qurra. Además los más famosos matemáticos o filósofos de los países islámicos, como Al-Nayrìzì (siglo X), Al-Tùsì (primera mitad del siglo XIII), Ibn Sìnà (Avicena, 980-1037), Al Khayyàmi (Omar Khayam, 1048 - 1125) escribieron comentarios o recensiones de los Elementos.
Los árabes utilizaron esta obra, principalmente, para facilitar la enseñanza de la geometría. Por eso introdujeron cambios para hacer el libro más pedagógico y simple, insertando explicaciones o efectuando variaciones para mejorar la exposición o el contenido de la obra. Esto hace que las versiones árabes de los Elementos sean interesantes para conocer el nivel matemático del Islam de la época; pero si lo que se quiere es conocer la redacción original de los Elementos esas versiones no ayudan mucho. En los siglos XI, XII y XIII, en el Occidente cristiano comenzaron a interesarse por la antigua sabiduría y se tradujeron del árabe al latín muchas obras científicas y filosóficas. Fue en este periodo cuando la Península Ibérica jugó un papel primordial en la transmisión de los Elementos. La mejor traducción al latín realizada durante la Edad Media fue la de Gerardo de Cremona (1114-1187), italiano de origen, pero afincado en Toledo, de cuya Catedral llegó a ser canónigo. Tomó como original la versión de Thàbit-ibn-Qurra. Por desgracia, la traducción de Adelardo de Bath (fl 1145) de la versión de Hajjàj, que considera, por ejemplo, que las demostraciones son un añadido de Teón, tuvo más aceptación en el medioevo. A partir de la traducción de Adelardo, Campano de Novara (s. XIII), que era mejor matemático que él, redactó un texto que fue la versión latina más utilizada en la Baja Edad Media. 5. El Renacimiento En el siglo XVI, con la aparición de la imprenta, se simplificó y se generalizó la reproducción de los libros. Los Elementos se imprimieron por primera vez en 1482. Los publicó E. Ratdolt en Venecia, tomando como base la edición latina de Campano.
Pero, los estudiosos renacentistas preferían acudir a las versiones originales griegas para recuperar íntegra la sabiduría de la Antigüedad. En 1505 se publicó en Venecia otra versión latina preparada por B. Zamberti, que tomaba como base uno o varios manuscritos griegos de la tradición teonina. En 1533 S. Grynaeus imprimió en Basilea la primera edición en griego de los Elementos. Durante la mayor parte de este siglo coexistieron las dos tradiciones: la latina que editaba textos procedentes de las traducciones árabes y la griega que partía de manuscritos anteriores.
La controversia terminó cuando Federico Commandino de Urbino (1509-1575) publicó su versión de los Elementos (Pesaro, 1572). Buen conocedor de las matemáticas, del griego y del latín, utilizó varios manuscritos antiguos y las traducciones impresas anteriores para redactar ese texto. La obra, que sigue principalmente la versión de Teón de Alejandría, ha sido considerado la más ajustada al original euclídeo de las ediciones anteriores al siglo XIX. Junto esta preferencia por reconstruir la redacción original de los Elementos y eliminar los añadidos que eran muy numerosos en las versiones de origen árabe, apareció a finales del siglo XVI, una nueva tendencia a publicar versiones corregidas y ampliadas de los Elementos para utilizarlas en la enseñanza de la geometría.
La más importante de estas ediciones pedagógicas fue la preparada por Clavius (1537-1612), que fue profesor del Colegio Romano de la Compañía de Jesús y participó en la reforma del calendario de Gregorio XIII. En este caso y en otros similares, los Elementos servían de base para imprimir una enciclopedia de geometría. Clavius incluyó en su obra una versión latina no muy diferente a la de Commandino, pero, junto a las 486 proposiciones que se consideraban propias de libro de Euclides, introdujo otras 671 más para completarlo. Además, en el libro se discute ampliamente sobre el postulado de las paralelas, se incluye un apéndice sobre la cuadratríz, línea que sirve para cuadrar el círculo, y se añaden abundantes explicaciones, corolarios y escolios.
6. Las versiones en Lenguas Vernáculas En el Renacimiento ciertas profesiones, como los navegantes, arquitectos, pintores, comerciantes o militares, comenzaron a requerir una base científica para ejercerlas convenientemente. Para conseguirla necesitaban manuales de geometría que estuvieran en la lengua del país, pues en general estos profesionales no habían estudiado latín ni griego.
Las primera versión de los Elementos que se imprimió en lengua vernácula fue la italiana que publicó Tartaglia en 1543. Una segunda traducción al italiano la preparó Commandino en 1575. La primera edición en francés la escribió P. Forcadel y salió a la luz en 1564. En alemán se editaron los libros aritméticos en 1558 y los seis primeros libros de geometría del plano en 1562, en una edición elaborada por Xylander. En inglés la primera impresión fue la de H. Billingsley que se publicó en Londres en 1570. Poco después apareció la primera versión en castellano, traducida por Rodrigo Zamorano y editada en Sevilla en 1576. Con ella comienzan las andanzas de los Elementos en español.
7. Las ediciones de los Elementos en español 7.1. Introducción Los Elementos de Euclides tuvieron unas quince ediciones diferentes en castellano desde el siglo XVI hasta finales del XVIII. Varias tuvieron mucho éxito y se reimprimieron tres o cuatro veces. Todas ellas se publicaron para utilizarlas en la enseñanza. Sólo la primera edición, preparada por Zamorano, y una de las últimas, la traducción española de la versión de Simson, tratan de ser una trascripción fiel del texto griego. La mayoría son adaptaciones pedagógicas, más o menos libres, de la obra de Euclides. En varias se discuten puntos conflictivos del texto original, pero en ninguna se hace una reflexión sobre las bases teóricas de la geometría o sobre la lógica matemática.
7.2. Rodrigo Zamorano (1576) Rodrigo Zamorano (Medina de Rioseco – Sevilla 1620). En su juventud Zamorano recibió una buena formación. Durante cierto tiempo fue profesor en las universidades de Valladolid y de Salamanca.
Características de la edición Esta primera edición contó con el apoyo del rey Felipe II, que deseaba fomentar la publicación de las principales obras científicas en castellano. Incluye solamente los libros I a VI de los Elementos, que son los que estudian la geometría del plano. Siguiendo la tradición renacentista, es una traducción fiel del texto griego. El autor no trata de variar la redacción de los Elementos ni “poner en ellos comentarios, scholios, ni additiones (que pudiera) por que el auctor [Euclides] fue en esto tan ingenioso que el que quisiere, con facilidad puede, atendiendo bien a la letra, percebir el sentido y demonstracion de lo que el enseña" [f. 7 r.]. Además la traducción está bien hecha. Hasta el siglo XX no se encuentra una edición de los Elementos más ajustada que esta.
7.3. Luis Carduchi (1637) Luis Carduchi nació en Madrid en una familia de artistas de origen italiano. Era sobrino de los pintores cortesanos Bartolomé y Vicente Carduchi. Estudió primero con su padre y luego con J. C. Firrufino en la Cátedra de Matemáticas, Fortificación y Artillería de Madrid. Fue medidor de jurisdicciones, agrimensor y profesor particular de geometría y arte militar. En 1641 examinó el curso del río Tajo desde Madrid hasta Lisboa para proponer las obras que debían convertirlo en navegable. Publicó esta versión de los Elementos (Alcalá, 1637) y una Corografía del río Tajo (1641). Al final de su vida, en 1651, sucedió a Firrufino en la Cátedra de Matemáticas Fortificación y Artillería. Murió en Madrid en 1657. Características de la edición Esta versión contiene también los libros del I al VI de los Elementos. A diferencia de la edición de Zamorano no es, ni pretende ser, una traducción del texto de Euclides. El autor dice que se imprimió para facilitar el estudio de la geometría a los profesionales que no conocían el latín y que por eso simplifica las demostraciones "para escusar prolixidad en las proposiciones”. Pero no cambia el orden de las proposiciones, ni incorpora al texto nuevos corolarios o explicaciones para hacerlo más fácil de estudiar. Es una versión menos cuidada que la de Zamorano y contiene algunos errores importantes. Por ejemplo, en el libro V se da una definición errónea de la igualdad de proporciones, que provenía de la edición latina medieval de Campano y que se había desechado en el siglo XVI. Ese fallo, y algunos arabismos, prueban que el original utilizado para esta traducción estaba influenciado por las versiones medievales de origen árabe, aunque el texto siga, fundamentalmente, la tradición griega renacentista.
7.4. Arte y Uso de Arquitectura (1633-1665) Este libro es un tratado de arquitectura escrito por Lorenzo de San Nicolás; pero contiene las traducciones de los libros I, V y VII de los Elementos que hicieron Antonio de Nájera (I y V) y Juan de la Rocha (VII). Características de la edición Los tres libros que se incluyen en este tratado son una traducción al castellano de los libros correspondientes de Euclidis Elementorum Libri XV. Accesit liber XVI (Roma, 1574) del jesuita Clavius. Como en la versión del profesor del Colegio Romano, además de una traducción cuidadosa del texto original de Euclides, la traducción española contiene definiciones, axiomas y postulados nuevos, junto a gran cantidad de corolarios, escolios y explicaciones diversas. Se trata de una buena versión porque la de Clavius fue una de las mejores realizadas a finales del siglo XVI, y estos libros la siguen fielmente.
7.5. Andrés Puig (1672) Andrés Puig nació en Vich y estudió en Valencia con el maestro Juan Serrano. Luego se trasladó a Barcelona donde editó la Arithmetica especulativa, y practica (1672). Este libro es famoso por introducir un método para resolver, aproximadamente, ecuaciones de grado superior al segundo. Pero aquí se incluye porque, según se afirma en el título, este tratado contiene “la explicacion de todas las proposiciones y problemas de los Libros quinto, septimo, octavo, nono y decimo del Principe de la Mathematica Euclides”. Características de la edición En el “Libro primero. Trata de Arithmetica especulativa” aparecen efectivamente buena parte de las definiciones y proposiciones de los libros V, VII, VIII y IX de los Elementos.
Pero la forma de presentarlos es muy diferente a la empleada por Euclides. El libro se divide en diecinueve capítulos, en los que no se sigue el orden de los Elementos. No se distinguen definiciones, axiomas, postulados y proposiciones. Los teoremas, en lugar de demostrarse, se comprueban con ejemplos. Además se incluyen unas consideraciones sobre la suma, la resta, la multiplicación y la división que están bastante alejadas de la orientación que tiene el estudio de la aritmética en los Elementos. Ese apartado no se puede considerar una versión castellana de los Elementos. Lo mismo puede decirse de la forma en que se enfoca el análisis de los números irracionales en el “Libro sexto. Trata de Álgebra irracional” y de su relación con el libro X de los Elementos. El resto del tratado de Puig tiene un desarrollo todavía más alejado de los Elementos. En general, la obra se asemeja a otros manuales de aritmética que se editaron en esos siglo en España. En ellos se estudiaba la forma de nombrar y escribir los números enteros, las operaciones con ellos, las fracciones, las operaciones con fracciones, la regla de tres y sus aplicaciones, las progresiones y, finalmente, el álgebra. En esos libros los Elementos de Euclides se citaban algunas veces, principalmente como justificaciones, y siempre con respeto; pero su desarrollo no era el de los libros de aritmética de la obra de Euclides. El planteamiento que se hacía en ellos era más práctico y menos abstracto que en los Elementos. Además se concedía bastante importancia al Álgebra.
7.6. José Zaragoza (1678) José Zaragoza (Alcala de Xivert, 1627 – Madrid, 1679). Se doctoró en Filosofía en la Universidad de Valencia. Más tarde entró en la Compañía de Jesús y se encargó de las clases de teología en los colegios de Palma de Mallorca, Barcelona y Valencia. Durante esos años se interesó también por las ciencias exactas y adquirió mucha fama como astrónomo y matemático. En 1670 fue nombrado profesor de matemáticas del Colegio Imperial de Madrid y, poco después, maestro de matemáticas del joven rey Carlos II. Fue uno de los matemáticos españoles más valiosos de esa época. Publicó catorce libros de matemáticas puras y aplicadas, y escribió muchas obras más que quedaron manuscritas. Características de la edición Esta versión contiene los libros I a VI, XI y XII de los Elementos. Es la primera edición en español que incluye los dos primeros libros de geometría del espacio. Se trata de una versión pedagógica, poco fiel al original euclídeo. A diferencia de Clavius, Zaragoza no introduce nuevos corolarios y explicaciones para facilitar y completar el estudio de la geometría, ni discute los puntos conflictivos.
Lo que hace es reorganizar los Elementos, juntando todas las definiciones, axiomas y postulados en una primera parte llamada “Proemiales”, todos los problemas o construcciones en una última parte denominada “Geometría práctica” y dejando los teoremas en el apartado titulado “Geometría especulativa”, que está dividido en seis libros: los cinco primeros contienen proposiciones de los libros I, II, III, V y VI de Euclides y el último de los libros XI y XII juntos. En esta versión se utiliza un estilo más didáctico y explicativo, pero menos riguroso, que el de los Elementos. En los “Proemiales” no se diferencian las definiciones, los axiomas y los postulados. En la “Geometría especulativa” se reducen las "materias à classes”, juntando todos los teoremas de los Elementos sobre la misma cuestión. Además, simplifica el libro V, limitándolo al estudio de las fracciones numéricas. En las proposiciones sobre áreas y volúmenes utiliza razonamientos de tipo infinitesimal para evitar el método de “exhausción”. La Geometría Práctica está dividida en ocho problemas. En los siete primeros se agrupan las construcciones propuestas por Euclides en los diversos libros. El problema octavo no proviene de los Elementos. En él se valoran los avances hechos en la resolución de los principales problemas de la geometría clásica, como la trisección del ángulo, la inscripción del heptágono en el círculo, la obtención de dos medias proporcionales o la cuadratura del círculo en la España del siglo XVII. 7.7. Sebastián Fernández de Medrano (1688) Sebastián Fernández de Medrano (Mora de Toledo, 1646 – Bruselas, 1705) fue un militar autodidacta, que con 14 años se alistó en el ejército de Extremadura. Cuando se terminó la guerra con Portugal, se trasladó a Madrid, donde residió hasta que se incorporó al ejército de Flandes. Permaneció en los Países Bajos desde 1667 hasta su muerte. Medrano tuvo una facilidad especial para las matemáticas. Sin tener ningún maestro, y aprendiéndolas en el tiempo libre que le dejaban las campañas militares, logró un buen nivel en geometría y trigonometría y ciertos conocimientos de aritmética y álgebra.
Características de la edición Esta versión contiene también los libros I a VI, XI y XII. No es una edición fiel al original. En ella se añaden varios corolarios y escolios, se simplifican algunas materias y se prescinde de algunas demostraciones. Se distingue por la claridad de las explicaciones y por los esfuerzos del autor por hacer el tratado más pedagógico. Por ejemplo, añade ejercicios de aplicación al final de cada libro para que el lector practique lo que ha aprendido. Pero, también realiza Medrano algunas simplificaciones que empobrecen el texto de Euclides, como las que efectúa en el libro V, convirtiéndolo en un texto sobre proporciones numéricas. Para simplificar las proposiciones sobre áreas y volúmenes del libro XII define la idea de sólidos inscritos o circunscritos en una figura que “degeneran" o “fenecen” en dicha figura. Esa definición es una especie de límite, que ya había sido propuesta por el jesuita belga Tacquet en su Elementa Geometriae (Amberes, 1648) para simplificar las demostraciones por “exhausción”.
7.8. Jacobo Kresa (1689) Jacobo Kresa (Smrzowitz (Moravia), 1645 – Brno (Moravia), 1715). Entró en la Compañía de Jesús en 1667. Primero fue profesor en los colegios de Praga y Olmutz. Después fue enviado al Colegio Imperial de Madrid como profesor de Matemáticas. En 1687 estaba en el Colegio de Cádiz, poniendo en marcha una cátedra de matemáticas para oficiales del ejército y de la Armada Real. Hacia 1690 volvió a su cátedra de Madrid y permaneció en la capital del reino hasta 1700, año en el que retornó a Praga. Características de la edición Contiene los libros I a VI y los XI y XII de los Elementos. En los primeros libros es bastante fiel al original griego, pero añade muchas propiedades porque, según Kresa, más vale largo con claridad que corto con oscuridad. Agrega un apéndice al libro V y en que en los libros XI y XII sigue la adaptación del “P. Andreas Tacquet de la Compañia de Jesús”, definiendo las figuras que “terminan o se degeneran" en la figura en la que están inscritas, como Fernández de Medrano. De Tacquet proviene también un suplemento que se encuentra al final del libro con unos “Theoremas Selectos de Archimedes", probablemente la primera edición de Arquímedes en castellano. En esta versión se nota el interés de Kresa por el álgebra geométrica. Introduce varios problemas del matemático gaditano Antonio Hugo de Omerique, en los que se trata de resolver de forma geométrica cuestiones de álgebra. Además incluye un suplemento, titulado "Apendiz de algunos Theoremas de paralelepipedos, que resultan de varias secciones de una recta" en el que se ofrecen seis teoremas que relacionan paralelepípedos e igualdades algebraicas.
7.9. Escuela de Palas (1693) En el tratado militar titulado Escuela de Palas (Milán, 1693) se incluye una versión pedagógica de los Elementos, junto a la primera edición en castellano del libro de los Datos de Euclides. Es una obra bien impresa de la que la primera mitad está dedicada a las matemáticas y la segunda al arte de la guerra, principalmente a la fortificación.
El escrito es anónimo. La opinión más generalizada es que su autor, o la persona que más intervino en su redacción, fue el ingeniero militar José Chafrión (Valencia,1653 - Barcelona, 1697), un discípulo de Caramuel que ocupó diversos cargos de responsabilidad en el ejército español de Milán y, luego, fue ingeniero en jefe del ejército de Cataluña hasta su muerte. Características de la edición En la Escuela de Palas se incluyen los libros I a VI, XI y XII de los Elementos de Euclides. El texto es un resumen del libro Geometria especulativa, y practica de los planos y solidos del jesuita Zaragoza. Incluso las figuras de las láminas son iguales a las del libro de Zaragoza.
Aunque se han resumido bastantes explicaciones y han desaparecido las demostraciones alternativas que ofrece el jesuita, no se ha cambiado en nada importante el desarrollo de Zaragoza. La única novedad es que se indica, junto a cada proposición o definición, la numeración de la aserción equivalente en la versión de Zaragoza y en la original de los Elementos de Euclides, para facilitar las citas. Las simplificaciones se realizaron, probablemente, para suavizar el aprendizaje, pero este texto no es más sencillo que el de J. Zaragoza porque, al abreviarlas, las explicaciones resultan, a veces, confusas o insuficientes. A diferencia de las versiones anteriores, esta adaptación de los Elementos no se publicó como un libro suelto, sino que era el aparatado dedicado a la geometría elemental de una obra más amplia. En varias ediciones posteriores también se incluirá la obra de Euclides como una sección dentro de un tratado más amplio.
7.10. Francisco Larrando de Mauleón (1698) Francisco Larrando de Mauleón (Mediana (Zaragoza), 1664 – Zaragoza, 1736). En su juventud fue ayudante de J. Kresa en el Colegio Imperial de Madrid. Se alistó en el ejército en 1693 y comenzó a trabajar como ayudante de ingeniero en Cataluña. En 1696 el virrey del Principado le nombró profesor de una academia militar que abrió en Barcelona. En ese empleo estuvo hasta 1700, aunque la intensidad de la guerra y los problemas de la reconstrucción del país no le dejaron impartir adecuadamente sus cursos. Al subir Felipe V al trono dejó la enseñanza y comenzó una brillante carrera de ingeniero militar, llegando a ser mariscal de campo y responsable de ese arma en Aragón. Características de la edición
Contiene solamente los libros I a VI de geometría plana. Para escribir esta versión dice que "en lo mas he querido imitar à mi Maestro el M. Reverendissimo Padre Jacobo Kresa de la Compañía de Jesús, por ser hasta oy el que con mayor facilidad enseña esta nobilissima Ciencia y quien con mas claridad ha comentado a Euclides". Efectivamente la mayor parte del texto proviene del libro del jesuita, pero en conjunto esta versión resulta muy diferente a la de Kresa. Es una obra pequeña y resumida, sin los escolios, las demostraciones alternativas, ni los apéndices del jesuita checo. Las definiciones son similares a las de Kresa, a veces incluso literalmente iguales, pero no se incluyen las explicaciones posteriores de éste. Alguna vez trata de abreviar o simplificar una definición o una demostración de Kresa, pero no consigue mejorar el texto del jesuita.
7.11. Pedro de Ulloa (1706) Pedro de Ulloa (Madrid 1663 - 1721) entró joven en la Compañía de Jesús. Impartió clases de gramática y filosofía en Oropesa. Después pasó al Colegio Imperial de Madrid donde fue profesor de matemáticas. En la capital del reino realizó varias observaciones astronómicas y fue Cosmógrafo Real. Imprimió un libro titulado Elementos Mathematicos (1706) que trata de aritmética, álgebra, logaritmos y geometría. La parte dedicada a la geometría es una nueva adaptación pedagógica de los Elementos de Euclides. Esta obra es famosa por ser la primera escrita en castellano en la que aparecen reflejadas las ideas de la geometría analítica de Descartes. Ulloa también se dedicó a la música publicando el texto Música Universal (Madrid, 1717).
Características de la edición
Incluye los libros I a VI, XI y XII de los Elementos. El autor dice que su geometría “contiene los Elementos Geométricos de Euclides [...] Observase este orden, porque aunque ni Euclides, ni otro alguno halló todas estas Proposiciones, él las coordinó de tal forma que generalmente ha sido recibida”. En la primera parte de este tratado se introduce el álgebra y la aritmética. Eso le permite utilizar en las explicaciones y justificaciones del apartado dedicado a la geometría la escritura simbólica. No se incluyen los libros VII a X de los Elementos ya que, según Ulloa, “lo mas util de los Libros 7ª 8ª 9ª y 10º queda ià explicado en la primera parte”. Se cambia el orden de las definiciones agrupando todas las de los libros de geometría plana delante del libro primero. Sin embargo, las de la geometría espacial se mantienen al comienzo del libro XI. No existe un apartado dedicado a los axiomas y postulados, sino que se dan como explicaciones o justificaciones entre las definiciones. Se simplifican muchas demostraciones, incluso la del teorema de Pitágoras. También se sustituye el método de “exhausción” del libro XII por unos razonamientos semejantes a los que se utilizan en las ediciones de Fernández de Medrano o Kresa.
7.12. Tomás Vicente Tosca (1707) T. V. Tosca (Valencia, 1651 – 1723) fue un religioso de la congregación de S. Felipe Neri que ejerció como profesor en la Universidad de Valencia, llegando a ser vicerrector de ella. Publicó un Compendio Matemático (1707-1715) en nueve volúmenes. Este texto es una obra enciclopédica que trata de matemáticas puras y aplicadas, abarcando la estática, la hidrostática, la arquitectura, la fortificación, la astronomía, la náutica y otras materias que se consideraban matemáticas aplicadas. Este Compendio tuvo mucha influencia en los matemáticos españoles de la primera mitad del siglo XVIII, llegándose a imprimir cinco veces. Características de la edición En el primer tomo del Compendio Matemático las partes tituladas "Geometría Elemental" y "Geometría Práctica" contienen una versión modificada de los libros I al VI, XI y XII de los Elementos de Euclides. Pero, los apartados titulados “Aritmética Inferior” y “Aritmética Superior” no están inspirados en la obra de Euclides. En general, esta edición se ajusta más a la versión griega que las de otros publicistas de la época, pero sin pretender ser una traducción del libro original. Se trata de otra versión didáctica en la que el autor dice que se ciñe “a las proposiciones que juzgué más necesarias omitiendo las que fueran menos, pero sin faltar a la claridad". El libro IV se incluye entero dentro del apartado de geometría práctica. Se simplifican las definiciones y las proposiciones sobre razones geométricas del libro V. En el libro XII, que se enumera como VIII, se utiliza también el método introducido por Tacquet sobre figuras inscritas o circunscritas que “degeneran, fenecen o se terminan” en las que se inscriben o circunscriben, “evitando la prolixidad de Euclides que suele servir de tropiezo a los principiantes". 7.13. Antonio José Deu y Abella (1723) Antonio José Deu y Abella. Nació en Sacer y fue gobernador de la ciudad de Castillo Aragonés. Cuando editó este libro era capitán de Estado Mayor en Zaragoza. Parece que, posteriormente, se dedicó a la enseñanza porque en el prólogo de su Euclides Geometria Especulativa y Practica de los Planos, y Solidos manifiesta que pensaba abrir una Academia para mejorar la formación de la juventud zaragozana. Características de la edición
Esta versión contiene los libros I a VI, XI y XII, explicados "segun el methodo del Padre Joseph Zaragoza de la Compañia de Jesus", es decir juntando las proposiciones similares. Pero Deu y Abella no unifica todas las definiciones en un primer apartado como hace el jesuita. Además añade las equivalencias entre las proposiciones de este libro y las del original de Euclides “a fin que no tenga el principiante dificultad en las citas", como el autor de la Escuela de Palas. Incluye también una exposición sobre las matemáticas y sus partes, explicando algunos términos usuales en ciencias exactas, como definición, postulado o petición, axioma o noción común, proposición, lema, corolario y escolio. Utiliza varios símbolos algebraicos en las explicaciones, como +, –, =, para semejante, +q para mayor que, :: para la igualdad de razones, y x para multiplicar. En varias demostraciones da dos versiones, una siguiendo a Euclides y otra “con estilo analítico", utilizando esos símbolos algebraicos. Termina con dos apéndices, que no vienen en los Elementos. En uno van las longitudes de los lados de los polígonos regulares de tres a doce lados, que están inscritos en una circunferencia de radio 10.000 unidades. En el otro va un “Breve Resumen de los Principios y Reglas Generales de la Geometría” que está dado en forma analítica y que el propio autor reconoce que está tomado del Álgebra de J. Zaragoza.
7.14. Gaspar Álvarez (1739) y Blas Martínez de Velasco (1747) Gaspar Álvarez (1739) Gaspar Álvarez nació en Madrid. Entró en la Compañía de Jesús y fue profesor de matemáticas en el Colegio de Nobles y en el Colegio Imperial de la capital del reino. Características de la edición Esta versión contiene los libros I a VI, XI y XII. Por el orden que mantiene y la forma clásica de presentar las demostraciones está más cerca de la versión griega que las que publicaron Fernández de Medrano, Ulloa o Zaragoza y sus seguidores. Alaba las versiones de Clavius, Bettino y Guarino, y reconoce en la introducción haberse inspirado en la versión de Tacquet. Pero este libro es más sencillo que el tratado del jesuita belga y mucho más breve que el de Clavius. "Y no obstante de tener esta ciencia nobles alicientes [...], veo en nuestro País a su estudio aficionados bien pocos, y aun sugetos, que con sus buenas prendas quieren bizarrear en todo genero de erudicion, y literatura: tienen a la mathematica un cierto genero de horror con que creen ser un laberinto confuso en cuyo recinto se oculta el Minotauro, que se traga a los que en lo interior se introducen". Blas Martínez de Velasco (1747) Blas Martínez de Velasco fue teniente de navío y profesor de la Academia naval de Cádiz. Algunos autores dicen que fue discípulo del famoso matemático gaditano Antonio Hugo de Omerique. Características de la edición Estos Elementos Geometricos de Euclides son una obra póstuma que fue editada por su viuda. En la edición se incluyen los libros I a VI, XI y XII y se desarrolla utilizando métodos analíticos. 7.15. Traducción de Simson (1774)
Después de muchas ediciones en las que la redacción primitiva de los Elementos de Euclides se sacrificaba en aras de la didáctica, en esta versión se trata de volver al original para recuperar el rigor, la precisión y la concisión que lo han caracterizado. La obra sigue estando pensada para utilizarla en la enseñanza; pero el impulsor de la edición, el Inspector de la Infantería Española conde O-Reilly, consideraba primordial volver a la exactitud de las primeras versiones. Por eso en el título se afirma que esta obra es una traducción de la edición de Commandino, la más cabal de las existentes en aquel tiempo. Características de la edición Contiene los libros I a VI, XI y XII de los Elementos. No se utiliza en esta versión la escritura algebraica para simplificar las explicaciones, ni se omiten demostraciones. Pero, al final del libro, se incluyen unas "Notas críticas y Geométricas" del matemático escocés R. Simson en las que se discuten los puntos conflictivos del original griego como el postulado de las paralelas, los ángulos curvilíneos, la definición de razón dada en el libro V o diversas proposiciones de los libros I, III, V, VI o XII.
7.16. Juan Justo García (1782) Juan Justo García (Zafra 1752- Salamanca 1830) fue primero alumno y luego catedrático de la Universidad de Salamanca, revitalizando la enseñanza de las matemáticas en la vieja Universidad. Publicó unos Elementos de aritmética, álgebra y geometría (1782) en los que se explica el cálculo diferencial e integral y las series, siguiendo a Leibniz y Euler. Características de la edición La geometría elemental de esta obra no puede considerarse una versión adaptada del texto de Euclides, aunque se estudia en ella la mayoría de las cuestiones que se tratan en los Elementos. El autor desarrolla ese apartado sin preocuparse en seguir la redacción ni el método de los Elementos. Pero al final de la geometría se dice: “553 Siendo muy corriente en los libros antiguos y algunos modernos las citas de las proposiciones / de Euclides, especialmente de las que comprenden sus libros 1º, 3º, 5º, 6º, 11º y 12º de Geometría hemos juzgado conveniente poner aquí una lista de los números que en este Compendio corresponden á dichas proposiciones, que van enfrente; a favor de aquellos que no tienen a mano otro libro donde ver la proposición que encuentren citada. Pero llévese entendido que las proposiciones que aquí faltan, o sirven sólo de explicar las demás, ó no tienen utilidad particular”. A ese párrafo le sigue una larga lista de equivalencias entre las proposiciones de este libro y las de los Elementos.
Juan Justo García, como otros matemáticos españoles de la época, opinaba que los Elementos ya no eran la mejor forma de introducir la geometría. Pero, sabía que todavía mantenían un gran prestigio, y no se quería despegar de la tradición euclídea, por lo que incluyó ese listado.
7.17. Pedro Giannini (1788) Pedro Giannini fue un matemático de origen italiano que dio clases en la Academia de Artillería de Segovia desde 1776 hasta 1796. Siendo profesor en Segovia publicó un Curso Matemático en cuatro volúmenes, que completó con un libro de Prácticas de Geometría y Trigonometría. En el primer tomo de su Curso se explican los “Elementos de Geometría Plana y Sólida” sobre los que se advierte que “son de Euclides el Matemático que floreció en Alexandría”. Características de la edición Esta versión contiene los libros I a VI, XI y XII de los Elementos. P. Giannini publicó una versión bastante próxima al texto griego, pero utilizando símbolos algebraicos para simplificar las explicaciones. En las proposiciones del libro XII además del método de exhausción utiliza en las demostraciones el “método moderno de las primeras y últimas razones: método utilisimo para poder adelantar las doctrinas Geométricas, y necesario para la perfecta inteligencia de los nuevos Cálculo Diferencial é Integral”. El autor dice haber utilizado las versiones de Clavius, Tacquet, Barrow y Simson, junto con la italiana de G.Grandi para redactar la suya.
7.18. Los siglos XIX y XX En el siglo XIX la educación básica comenzó a extenderse y regularizarse en España. Los Elementos de Euclides resultaban demasiado rigurosos para utilizarlos en la enseñanza primaria o al comienzo de la secundaria y los manuales elementales de geometría abandonaran el texto de Euclides. La geometría se introducía de una forma más intuitiva y menos formalista. Se veían las propiedades de las líneas, las figuras planas y los sólidos sin realizar casi demostraciones. Por otra parte, en la enseñanza superior el cálculo diferencial e integral habían relegado a la manera clásica de trabajar de Euclides a un segundo plano. Además, a comienzos del siglo XIX influyeron mucho en la Península Ibérica los textos franceses de geometría, menos apegados a los Elementos que los españoles.
El primer libro que dedica un apartado a tratar de las geometrías de Lobachevsky y Bolyai es la Geometría Elemental (1888) de García Galdeano. Con anterioridad en los libros españoles de geometría más bien se creía que el quinto postulado era demostrable. Por ejemplo, José Mariano Vallejo en su Compendio de Matemáticas puras y mixtas (1819) dice que ese postulado “dista mucho de ser una axioma”. No fueron las geometrías no euclídeas, sino cuestiones de didáctica las que hicieron que no se volvieran a editar los Elementos durante el siglo XIX. En otros países se siguieron analizando los Elementos como ejemplo de axiomatización en geometría. Pero en la Península Ibérica no se trabajó en ese sentido. También se comenzaron a estudiar por ser una obra fundamental para conocer la historia de la geometría. Esa orientación tomó cierta fuerza en los países de habla hispana en el siglo XX y se volvieron a imprimir los Elementos en castellano. García Bacca publicó Euclides. Obras completas. Elementos de Geometría (México, 1954-1956) obra de la que se imprimieron los dos primeros volúmenes que contienen los libros del I al V del texto de Euclides. J. Mingot Shelley tradujo Los Elementos de Euclides y la crítica antigua y moderna. Libros I-IV (Madrid, 1957) de F. Enriques. Algo más tarde F. Vera en el volumen I de sus Científicos Griegos (Madrid, 1970) publicó la obra de Euclides, con todos sus libros del I al XIII, por primera vez en castellano. Pero en esa edición, sobre todo en el libro X se abrevian mucho las demostraciones, o se sustituyen por otras más modernas, por lo que no es propiamente una traducción del texto íntegro de Euclides. La primera traducción española completa de los Elementos es la de M. L. Puertas Castaños Elementos (Madrid 1991, 1994 y 1996) en tres volúmenes.
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