Mayo 2007: La incorporación de los logaritmos a las matemáticas españolas
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Escrito por Juan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a distancia de Guipuzkoa)   
Martes 01 de Mayo de 2007
Colegio Imperial
(Colegio Imperial de Madrid)

 

Nuestro más sincero agradecimiento al autor de esta exposición:

 

  • Juan Navarro Loidi (Instituto de Bachillerato a distancia de Guipuzkoa)

 

por la realización de esta exposición para DivulgaMAT, y por su valiosa y desinteresada colaboración.

 


ÍNDICE DE LA EXPOSICIÓN


La aparición de los logaritmos

Los logaritmos surgieron a comienzos del siglo XVII como una manera de simplificar los cálculos matemáticos (1). Su principal promotor fue el escocés John Napier, a quien en español se le suele llamar Neper, que los expuso en sus libros Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614) y Mirifici logarithmorum canonis constructio (1619). La idea en la que se basaban era conocida desde la Antigüedad. Ya Arquímedes decía en El Arenario:

“Si los números son continuamente proporcionales a partir de la unidad y se multiplican dos términos de esta progresión, el producto será también un término de la misma alejado del mayor factor tanto como de la unidad lo está el menor, y el mismo producto distará de la unidad tantos términos menos uno como los dos términos juntos” (Vera, 1970, Científicos griegos, v. 2 p. 215)

Arenario

La definición que daba Neper era más general pues valía para magnitudes continuas:

“El logaritmo de un seno dado es el número que aumenta uniformemente con la misma velocidad a la que el seno ha comenzado a disminuir con una aceleración proporcional a su longitud desde el seno dado” (Descriptio Definición 6)

John Napier
John Napier

Pero la generalidad de esta definición no se valoró tanto como las tablas detalladas que incluía Neper en sus libros con las que se podían simplificar considerablemente los cálculos trigonométricos sin perder mucha precisión. Para calcularlas relacionó una progresión aritmética - que empieza en cero y cuya diferencia es uno- con una progresión geométrica -cuyo primer término es 10.000.000 y cuya razón es r = 0,9999999, casi uno- obteniendo:

NUMEROS 10000000 9999999 9999998,0000001 ... 9999900 ...
LOGARITMOS 0 1 2 ... 100 ...


Progresión Aritmética


Progresión Geométrica

Con esta definición lo que se obtiene no es lo que ahora se llaman logaritmos neperianos (ln) sino otros (LogNeper) decrecientes que se relacionan con los neperianos de esta forma:

LogNeper x = 107.ln(107/x)

Si se definen los logaritmos como una correspondencia cualquiera entre progresiones aritméticas y geométricas, como decía Arquímedes, se verifica que:

log (A·B) = logA + logB – log1

Con los logaritmos los productos y divisiones se convierten en sumas y restas; pero sólo si se verifica que log 1 = 0. Con la definición de Neper en los cálculos se debía arrastrar la constante log1. Además en sus logaritmos a mayor número le correspondía menor logaritmo. Una solución a ambos problemas, sin alejarse mucho de la definición de Neper, era tomar una progresión geométrica comenzando en 1 y con razón algo mayor que 1, 1,000001 por ejemplo, y una progresión aritmética que empezara en 0 y con una diferencia que fuera lo que pasaba de uno la razón de la geométrica, 0,000001. De esa forma saldrían, aproximadamente los logaritmos que ahora se llaman neperianos:

NUMEROS
1
1,000001
1,000002000001
...
2,718280469
...
7,38904871
LOGARITMOS
0
0,000001
0,000002
...
1
...
2

Pero Henry Briggs propuso un sistema que facilitaba mucho más los cálculos aritméticos o trigonométricos. En él la progresión geométrica tiene de primer término 1 y de razón 10 y la aritmética empieza en 0 y de diferencia tiene 1. De esa forma se obtienen los logaritmos decimales en los que la parte entera del logaritmo de un número, la característica, indica el orden de magnitud de dicho número y la parte decimal, la mantisa, sólo depende de los dígitos que representan dicha cantidad en base diez. Por ejemplo, en los logaritmos de Briggs log10121= 2,082785 ; log1012,1= 1,082785; log101,21= 0,082785 etc. Briggs publicó las primeras tablas de logaritmos decimales Logarithmorum chilias prima en 1618.


La difusión de los logaritmos

Las ventajas prácticas de este descubrimiento hicieron que enseguida se extendiera su conocimiento por toda Europa. En Alemania los difundió Kepler, en los Países Bajos Vlacq, en Italia Cavalieri y en Francia Hérigone y Henrion. En todas esas naciones se comenzaron a publicar textos y tablas de logaritmos en la lengua del país. Salvo Kepler y algún otro autor menor, todos prefirieron los logaritmos decimales de Briggs a los propuestos al comienzo por Neper.

Kepler
Cavalieri
Kepler
Cavalieri

En España durante el siglo XVII no se cultivaron mucho las matemáticas teóricas (artículo). Pero el cálculo, la trigonometría y las matemáticas aplicadas sí que tuvieron bastantes cultivadores porque eran fundamentales en la navegación, la astronomía, el comercio o la milicia y los logaritmos no tardaron mucho en comenzar a ser conocidos. La primera vez que aparecen mencionados en un libro escrito en español es en el prólogo de la edición de los Elementos geometricos de Euclides (Alcalá, 1637) preparada por el ingeniero hidráulico y profesor de fortificación Luis Carduchi (m. 1651) (artículo):

"Deseo (claro está) que este mi trabajo parezca bien, y sea de utilidad; que siéndolo me animaré a imprimir [...] los logaritmos que he traducido del Francés y añadido" [Elementos, s.p.].

Portada de "Elementos geometricos de Euclides"
Libro de Pierre Hérigone
Portada de "Elementos geometricos de Euclides" (Luis Carduchi)
Libro de Pierre Hérigone

No dice qué libro había traducido. Probablemente fuera el Traité des logarithmes (París, 1627) de Henrion, que fue profesor de matemáticas y ciencias militares como Carduchi. Nunca se llegó a publicar ese libro.

En esa década había más matemáticos castellanohablantes que conocían los logaritmos. En México el mercedario Diego Rodríguez que fue ingeniero, arquitecto, fabricante de relojes de sol y catedrático de matemáticas de la Universidad de México escribió una obra titulada De los logaritmos y la aritmética (1639), pero tampoco llegó a publicarla.

Reloj solar
Reloj Solar de D. Rodríguez (Oaxaca)

Las décadas centrales del siglo XVII. Las clases de Sempil

Colegio ImperialA partir de 1640 parece que los logaritmos se enseñaban en Madrid en el Colegio Imperial de los jesuitas. En esa época ese centro era la institución en la que más se cuidaba el estudio de las matemáticas de toda España. Muchos matemáticos del Colegio Imperial habían sido traídos por la Compañía de Jesús desde otros países europeos para asegurar un nivel adecuado a las enseñanzas de dicho colegio.

Della Faille
Della Faille

Entre los profesores de matemáticas del Colegio Imperial de esta época están el flamenco Della Faille, el borgoñón Richard o el escocés Sempill.

Este último había estudiado en la Universidad de Glasgow antes de hacerse jesuita y conocía bien la obra de Neper. Se conserva un extenso texto suyo manuscrito titulado La Arithmética común y decimal y Álgebra en el que según dice en el prólogo, incluye:

“Para beneficio de la nación Española [...] todos los atavíos joyas y galas, que han inventado las naciones extranjeras, como son la Arithmetica Decimal, que nos ahorra mucho tiempo que gastamos en quebrados, los logaritmos por donde obramos sumando y restando lo que los antiguos hicieron multiplicando y partiendo”.

Escudo de los Sempill
Tartán de los Sempill
Escudo de los Sempill
Tartán de los Sempill

En el texto Sempil alaba las invenciones de su compatriota “el baron Juan Nepero escocés en sangre e ingenio”, recomendando los logaritmos para simplificar las multiplicaciones, divisiones, raíces y reglas de tres.

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División por logaritmos
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Regla de tres
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Raíz por logaritmos
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Utilización de varillas
Escala de Gunter
Escala de Gunter

Propone también la utilización de las varillas y otros instrumentos que aparecen en el libro titulado Rhabdologia de Neper, así como el “logocanon”, que es una regla de cálculo logarítmica similar a la propuesta por el inglés Gunter en 1624, y que fue usada para facilitar los cálculos en navegación. En este manuscrito para los cálculos se utilizan los logaritmos vulgares propuestos por Briggs, no los definidos por Neper.

Sempil no llegó a publicar esta Aritmética. En los libros de matemáticas publicados en España durante las décadas centrales del siglo XVII no se incluyeron los logaritmos. Los tratados más teóricos investigaban preferentemente materias de geometría clásica bastante alejadas de los logaritmos, mientras que los libros de matemáticas aplicadas no los introducían, tal vez por no necesitar mucha precisión en sus cálculos. Una excepción es el libro Arquitectura Militar (Mallorca, 1664) del astrónomo, historiador y arquitecto militar Vicente Mut (1614-1687), en el que se usan logaritmos decimales para calcular distancias, áreas y volúmenes.

Retrato de Vicente Mut
Portada de Arquitectura Militar
Retrato de Vicente Mut
Portada de Arquitectura Militar

Los “Logaritmos Perfectos” de Juan Caramuel

Juan CaramuelLos logaritmos comenzaron a explicarse en los libros de matemáticas publicados en castellano en la década de 1670. Los primeros en incluirlos en sus libros fueron Juan Caramuel y José Zaragoza.

El cisterciense madrileño Juan Caramuel se formó en las universidades de Alcalá y Salamanca. En 1632 se trasladó a los Países Bajos, residiendo después en Alemania, Austria e Italia, donde fue obispo de Campagna y de Vigevano. No dejó de estar relacionado con la Península, pero al residir la mayor parte de su vida fuera de España su influencia en la cultura y la ciencia española fue menor a la que podía esperarse. Erudito y polifacético se relacionó con muchos sabios europeos. Publicó gran cantidad de libros, entre otros Mathesis Biceps (Campagna, 1670), escrito en latín y dedicado a las matemáticas puras y Architectura Civil Recta y Obliqua (Vigevano, 1678), publicada en castellano, en el que se desarrollan entre otras cuestiones las matemáticas necesarias para la arquitectura.

Portada de Mathesis Biceps
Portada de Architectura Civil Recta y Obliqua
Portada de Mathesis Biceps
Portada de Architectura Civil Recta y Obliqua

Gran admirador del progreso científico y técnico, Caramuel consideraba que los logaritmos eran el mayor avance que habían tenido las matemáticas en su tiempo, afirmando en su Architectura Civil que:

“Ingenioso Lector, da inmortales gracias a Dios nuestro Señor, de que para facilitar tus estudios, permitio que antes que tu nacieses huviesen Logaritmos, con los quales resuelves en dos lineas, lo que apenas pudieran los antiguos en muchas” [v. I, p. 66].

En el libro latino Mathesis Biceps se les dedica a los logaritmos una sección titulada “Sintagma Quinta. Logarithmica De numeris & lineis, rationalibus seu artificialibus” (v. II, p. 783-920). En ella se expone un nuevo sistema de logaritmos que propuso Caramuel. Comparándolos con los logaritmos decimales, los formulados por el cisterciense (CarLog) valen:

CarLog A = 10 – log A

Con el sistema de logaritmos de Caramuel se evitan las operaciones con cantidades negativas en las divisiones, pero no se cumple que Log A·B = Log A + Log B, por lo que tiene un interés relativo. En Mathesis Biceps se incluyen unas tablas de logaritmos calculadas de acuerdo con su sistema.

En la obra en castellano Architectura Civil Caramuel incorpora buena parte de lo que había publicado en Mathesis Biceps, pero tratando de adaptarlo a la arquitectura. A los logaritmos les dedica el “Tratado III En que se enseña la Logarithmica” [v. I, p. 54- 168]. Caramuel presenta los logaritmos de Briggs (o Vlacq) y de Napier y añade que él ha propuesto un nuevo tipo de logaritmos, que llama “perfectos”. Relaciona los tres logaritmos en esta tabla:

tabla

En la Architectura Civil Caramuel utiliza los logaritmos decimales porque acepta que, para la arquitectura, los más adecuados “son los de Briggio: y estos son los que ponemos y explicamos” [v. I, p. 57-171]. Pero sigue defendiendo que los suyos son los mejores para la astronomía.

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Tratado III. En que se enseña la Logarithmica
Tabla III de los logaritmos
Tabla IV de los números reales y artificiales
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PÁGINAS DEL LIBRO

ARCHITECTURA CIVIL

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Artículo VIII
Scala musica

Los logaritmos en los libros de José Zaragoza

José Zaragoza fue quien más influyó en la generalización del conocimiento de los logaritmos en España. Estudió en la Universidad de Valencia. Posteriormente, entró en la Compañía de Jesús y fue profesor de filosofía y teología en los colegios de Palma de Mallorca y Valencia. Finalmente fue nombrado profesor de matemáticas del Colegio Imperial de Madrid, maestro de matemáticas del rey Carlos II y consejero en cuestiones técnicas de la Corona. Además fue un prestigioso astrónomo. A Zaragoza se le suele relacionar con los círculos renovadores que existieron a finales del siglo XVII en la ciencia española.

Publicó catorce libros la mayoría con el material que había preparado para impartir sus clases de matemáticas. En el que dedica una mayor atención a los logaritmos es en su Trigonometria Española (Mallorca, 1672), del que publicó también una versión en latín con el título Trigonometria Hispana (Valencia, 1673). También se estudian los logaritmos en su Arithmetica Universal (Valencia, 1669). Además Zaragoza fue el primero en imprimir en España unas tablas de logaritmos: Tabula Logarítmica (Madrid, 1672) y Canon Trigonometricus (Madrid, 1672).

Trigonometria Española
Trigonometria Hispana
Arithmetica Universal
Tabula Logarítmica
Canon Trigonometricus

Zaragoza introduce los logaritmos como una correspondencia entre progresiones:

“Los Logarithmos son ciertos numeros artificiales, que en Progresion Arithmetica corresponden a los numeros verdaderos de una Progresion Geométrica” [Trigonometría, p. 21].

Es consciente de que, siempre que el logaritmo de 1 valga 0, los logaritmos coinciden con los exponentes de la progresión geométrica:

“De suerte que esta progresión aritmética natural es Exponente de la geométrica, porque sus terminos exponen y declaran, el lugar que tienen los terminos Geométricos en su Progresión. Este es el fundamento del Arte Mayor y de los logaritmos como en su lugar veremos” [Arithmetica, p. 135].

Fábrica y uso de de varios instrumentos mathematicosPero no define los logaritmos mediante una dependencia de tipo funcional, ni se preocupa por su representación geométrica. A Zaragoza le interesaban los logaritmos, como auxiliares para el cálculo. Por eso prefería los logaritmos decimales propuestos por Briggs y Vlacq y criticaba los sistemas introducidos por Neper o Caramuel.

Zaragoza inventó una especie de escala logarítmica o de Gunter, pero para aplicarla a la música y no a la navegación. La denominó “Compás Harmónico” y se encuentra descrita en su libro Fábrica y uso de de varios instrumentos mathematicos (Madrid, 1675).

Los escritos de Zaragoza son claros y bien ordenados. Tuvo numerosos discípulos y estuvo bien relacionado con muchos profesores y profesionales que necesitaban las matemáticas en su trabajo. Por eso sus libros ayudaron más que los de Caramuel a que se generalizara el conocimiento de los logaritmos. Pero Zaragoza no contribuyó a que los nuevos descubrimientos que se estaban produciendo en otros países de Europa sobre curvas logarítmicas o series logarítmicas llegaran a España.

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Compás Harmónico

La generalización de la utilización de los logaritmos como auxiliares del cálculo en los textos españoles de matemáticas

Escuela de PalasEscuela militar de fortificacionA partir de 1680 no era raro que en los tratados de matemáticas puras o aplicadas escritos en español se dedicara algún espacio a explicar los logaritmos, o se utilizaran para simplificar los cálculos, suponiéndolos conocidos. Por ejemplo, en la Escuela de Palas (Milán, 1692), obra dedicada a las matemáticas y la fortificación, se les consagra buena parte del “Tratado X. De La Trigonometria Plana, Espherica y Logarithmica”, en el que se siguen las enseñanzas de Zaragoza. J. Cassani en su Escuela militar de fortificacion (Madrid, 1705) los utiliza para calcular las dimensiones de las plazas fuertes, aunque no los explica. En algunas aritméticas comerciales de esa época, como en la de Juan Bautista Corachan, Arithmetica demostrada Theorico- Practica para lo Mathematico y Mercantil (Valencia, 1699), se explican también los logaritmos. A partir del siglo XVIII comenzó a ser normal que en los tratados de náutica se enseñaran los logaritmos y se emplearan como auxiliares para el cálculo en la trigonometría esférica. P. M. Cedillo, que fue profesor del Colegio de San Telmo que se creó en Sevilla para formar marinos, así lo hace en su Trigonometría aplicada a la navegación (Sevilla, 1717), lo mismo que su sucesor en dicho colegio J. Sánchez Reciente en el Tratado de Trigonometría Plana General (Madrid, 1739). Además, se comenzó a incluir la escala logarítmica o de Gunter entre los instrumentos náuticos propuestos. En los cálculos astronómicos igualmente se solían utilizar los logaritmos. Asimismo comenzaron a figurar en los manuales de matemáticas para la enseñanza, por ejemplo P. Ulloa en su libro Elementos Matemáticos (Madrid, 1706) comenta la utilidad de los logaritmos para simplificar todo tipo de cálculos numéricos e incluye una tabla de logaritmos decimales. También los estudia I. de la C. Manrique de Lara en sus Theses Mathematicas (Cádiz, 1688).

En las posesiones ultramarinas del rey de España también se generalizó entre los matemáticos el conocimiento de los logaritmos. El mejicano Sigüenza y Góngora los aplica con soltura en su obra Libra Astronómica y Filosófica(México, 1690). En las Islas Filipinas el marino J. González Bueno publicó el libro Navegación Especulativa y Práctica (Manila, 1734) en el que además de explicar los logaritmos y la escala de Gunter, incluyó unas tablas de logaritmos similares a las de J. Zaragoza.

Libra Astronómica y Filosófica
Navegación Especulativa y Práctica

En resumen, a partir de 1700 aproximadamente el conocimiento de los logaritmos estaba bastante extendido en España y sus colonias. Pero solían introducirse como una ayuda para simplificar los cálculos aritméticos o trigonométricos.


Las dificultades que se dieron en España para ampliar el campo de acción de los logaritmos

E. Torricelli
Durante el siglo XVII en otras regiones de Europa se encontraron otras utilizaciones de los logaritmos, que los relacionaban con otros campos de las matemáticas diferentes al cálculo aritmético. Así, E. Torricelli (imagen de la izquierda) estudió en 1646 la curva logarítmica1 y la espiral logarítmica2. A. Sarasa, hijo de un militar español destinado en los Países Bajos, explicó en 1647 que el área de la figura limitada por dos abscisas, una hipérbola y su asíntota se obtenía mediante un logaritmo, desarrollando los trabajos de su maestro G. de Saint Vincent. A partir de 1660 se amplió todavía más el interés teórico de los logaritmos porque N. Mercator e I. Newton encontraron la relación de los logaritmos con series del tipo:

ecuación

logaritmo con series

G. de Saint Vincent
I. Newton
G. de Saint Vincent
I. Newton


Johann Bernoulli

En 1676 Leibniz vinculó la curva logarítmica con la integral diferencial de y entre y, y en 1697 Jean Bernoulli explicó en las Acta Eruditorum que la diferencial del logaritmo de x es diferencial de x entre x. Con todos esos descubrimientos los logaritmos habían adquirido una nueva categoría, que en los libros españoles todavía no se les reconocía. Si a finales del siglo XVII comenzaba a generalizarse en España la utilización de los logaritmos para simplificar los cálculos, no avanzaba por igual el conocimiento teórico de esa estructura matemática.

El primer libro en castellano que menciona que el área entre la hipérbola y su asíntota es proporcional a un logaritmo es el Compendio Matemático (1707-1715) del sacerdote oratoriano Tomás Vicente Tosca. En esa obra enciclopédica en nueve volúmenes que abarca, además de las diversas ramas de las matemáticas, la estática, la hidrostática, la arquitectura, la fortificación, la astronomía, la náutica y otras materias similares, los logaritmos se explican en el tercer volumen, dentro del tratado VII titulado “De la Trigonometría”, de una forma parecida a la de la Trigonometria de J. Zaragoza. Sin embargo en el “Tratado VIII De las tres secciones conicas Elipse Parabola e Hiperbola” [p. 159 - 264], después de una introducción clásica, con abundantes citas de Euclides y algunas de Apolonio, se expone la proporcionalidad entre áreas y logaritmos concluyendo:

“Esta es la propiedad admirable de la hiperbola que demostro el insigne geometra el P. Gregorio de S. Vicente, de la Compañía de Jesús en que se ve que las paralelas CF, OM & c. dan los numeros que van en progresion Geometrica; y los espacios concavos que forman son iguales, y por consiguiente dan los logarithmos correspondientes a cada linea” [p. 261].

Pero Tosca lo consideraba una propiedad aislada y no le sirvió para dar una orientación más analítica a los logaritmos, ni para relacionarlos con las series. La razón de esta situación es que, en esa época, la comunidad matemática española, además de ser bastante reducida, estaba más inclinada hacia las matemáticas aplicadas que hacia las puras. La mayoría de los que se acercaban a las matemáticas lo hacían pensando en su utilidad para la navegación, la milicia, la arquitectura o el comercio.

Tomás Vicente Tosca
Compendio Matemático


Notas:

1 Curva logarítmica y = lnx
Curva logarítmica

2 Espiral logarítmica r = a·e
Espiral logarítmica


Los logaritmos como objeto del análisis matemático en los libros en castellano

Liciones de MatemáticasA mediados del siglo XVIII, gracias a los contactos con matemáticos de otros países y a los jóvenes que habían salido a estudiar al extranjero, el cálculo diferencial e integral comenzó a ser conocido en España y con él los logaritmos comenzaron a considerarse como algo más que un auxiliar para el cálculo. Por ejemplo, el jesuita Tomás Cerdá en Liciones de Matemáticas (Barcelona, 1758) introduce los logaritmos utilizando series. En su libro primero se definen como una correspondencia entre progresiones aritméticas y geométricas, pero indicando entre sus propiedades la relación existente entre los logaritmos y el área del recinto comprendido entre la hipérbola y su asíntota, También se menciona la existencia de la curva logarítmica. Posteriormente en un capítulo titulado “De los Logaritmos hiperbólicos” [p. 296] se estudian los logaritmos neperianos, introduciéndolos como aquellos en los que la progresión geométrica tiene una razón muy próxima a la unidad, 1 + e, y al término (1+e)n de ella le corresponde en la progresión aritmética el valor n·e, que es su logaritmo. Para hallar un número del que se conoce su logaritmo L, se considera en el libro el desarrollo indefinido del binomio:

binomio

Como n es muy grande, se pueden despreciar las cantidades, -1, -2 etc... que se restan a n en los numeradores, quedando:

binomio que queda

Dado que n·e = L, el número que se quiere conocer es el resultado de la serie:

serie

Por otra parte, para encontrar el logaritmo L si se conoce el número se halla la serie:

serie donde x = N – 1

"De los Logaritmos hiperbólicos"
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p.296-297
p.298-299
p.308-309

Elementos de aritmética, álgebra y geometríaEsta forma de obtener los logaritmos neperianos, parecida a la desarrollada por Euler en Introductio in Analysin Infinitorum, (t. I, 85–93, Lausane 1748), resultaba novedosa en las matemáticas en español. Además Cerdá incluye en su libro una tabla de logaritmos hiperbólicos por “ser breve, de suma utilidad y que no se suele encontrar en lo común de las Tablas Logarítmicas pondré aquí para los aficionados al cálculo integral o al método inverso de la fluxiones”.

Por esa época empezó también a explicarse en los libros en español la relación entre los logaritmos y el cálculo diferencial. Así, Juan Justo García, catedrático de matemáticas de la Universidad de Salamanca, publicó unos Elementos de aritmética, álgebra y geometría (Madrid, 1782) en los que se explica el cálculo diferencial e integral y las series. En él se introducen primero los logaritmos, en la parte dedicada a la aritmética, dando preferencia a los logaritmos decimales y a las aplicaciones al cálculo. Más adelante, en la parte dedicada al análisis, se introducen los logaritmos hiperbólicos, o neperianos, presentándolos como la expresión cuya diferencial verifica que dy = diferencial de x entre x. Se expone la curva logarítmica y se obtiene el desarrollo en serie de L(a+x) integrando el desarrollo en serie de serie.

Elementos de aritmética, álgebra y geometría
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p.153
tablas

Practicas de geometria y trigonometría También por esta época se comenzaron a relacionar los logaritmos con el análisis diferencial en las enseñanzas impartidas en las escuelas militares. Así el italiano Pedro Giannini, que fue profesor de matemáticas en la Academia de Artillería de Segovia desde 1776 hasta 1796 publicó un Curso Matemático (Madrid, 1779), en el que, como en los libros anteriores, primero se estudian los logaritmos como una correspondencia entre una progresión geométrica y una progresión aritmética, explicando cómo simplificar los cálculos aritméticos con los logaritmos decimales. A continuación se expone como se encuentran los logaritmos neperianos utilizando series y se dice que son muy útiles en el cálculo diferencial. En el tomo III dedicado al cálculo diferencial e integral, se obtiene la diferencial de un logaritmo y se utilizan los logaritmos en varias cuestiones de análisis. Giannini les dedicó también mucho espacio en su libro Practicas de geometria y trigonometría (Segovia, 1784), pero en ese volumen sólo se utilizan para facilitar los cálculos.

Tablas de Giannini
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Logaritmos para senos y tangentes
Logaritmos hiperbólicos

Benito Bails y la implantación de los logaritmos

Principios de matemáticasA finales del siglo XVIII los logaritmos se pueden considerar bien introducidos en las matemáticas españolas. Benito Bails que fue el matemático más importante de esta época les dio mucha importancia. Bails estudió matemáticas en Francia. De vuelta en España fue profesor de matemáticas en la Academia de Bellas Artes de San Fernando de Madrid durante muchos años y estuvo muy bien relacionado con los círculos científicos madrileños. Entre otras obras publicó unos Principios de matemáticas (Madrid, 1776) en 3 volúmenes y unos Elementos de Matemáticas (Madrid, 1772-1783) en 10 volúmenes. En los dos tratados se estudia la aritmética, la geometría, el álgebra y el cálculo diferencial e integral, junto a la mecánica, hidrología, arquitectura y otras ramas de lo que se entendía por matemáticas aplicadas en aquella época.

Tabla de logaritmos de todos los numeros naturales desde 1 hasta 20000, y de los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante de círculoEl último tomo de los Elementos, titulado Tabla de logaritmos de todos los numeros naturales desde 1 hasta 20000, y de los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante de círculo (Madrid, 1787) trata exclusivamente de los logaritmos. A pesar de su título esta obra no se limita como Practicas de geometria y trigonometría de Giannini a contener unas tablas de logaritmos con una explicación de su utilización y de sus aplicaciones. El libro se divide en dos partes bien diferenciadas. La primera, con 183 páginas, está dedicada a definir los logaritmos y a demostrar sus propiedades. En la segunda parte se presentan las tablas.

Los logaritmos se introducen de cuatro formas diferentes. La primera es la que Bails denomina “Doctrina de los logaritmos por Arismetica” [p. 37], en la que se definen como los términos de una progresión aritmética puestos en correspondencia con los términos de una progresión geométrica. La segunda forma de introducirlos se deriva de la llamada curva logarítmica. Para obtenerla Bails propone tomar en una recta puntos que disten entre sí una unidad y, sobre cada uno de dichos puntos, trazar segmentos perpendiculares que midan 1, en el origen, a, a2... para los puntos situados a su derecha, y a-1, a-2, etc... para los puntos situados a su izquierda. Luego se va incluyendo en los puntos medios, otros segmentos cuya longitud sea la media geométrica de las longitudes situadas en los extremos. Este proceso se continúa indefinidamente hasta que se obtenga uniendo las puntas de los segmentos “un polígono de infinito número de lados, todos infinitamente pequeños” que recibe el nombre de curva logarítmica. La tercera forma utilizada por Bails para introducir los logaritmos la llama “Doctrina de los logaritmos por la logarítmica y la hipérbola” [p. 119]. En ella se parte de que los logaritmos “traen su origen de la quadratura de la hipérbola” [p. 120]. La cuarta forma de definir los logaritmos se expone en el apartado titulado “Aplicación del análisis a la doctrina de los logaritmos” [p. 124]. En este apartado se define el logaritmo como la función inversa de la función exponencial y se plantea la obtención del logaritmo de un número por medio de series.

En la segunda parte se incluyen las tablas. Las tres primeras sirven para conocer el valor de un ángulo en radianes con veintisiete decimales o lograr el logaritmo de un número con una precisión de veinte decimales. A continuación va la tabla de los logaritmos de los números desde el 1 al 20.000, dados con seis decimales. Más adelante, otra tabla proporciona los logaritmos hiperbólicos con siete decimales de los números comprendidos entre el 1,01 y el 10,00. Finalmente se encuentra la “Tabla de los senos y tangentes del quadrante de círculo de minuto en minuto” [p. 439], que se complementa con dos tablas más de diferencias de logaritmos de senos o de tangentes [p. 530 y 531].

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Pág. 2
Pág. 3
Pág. 50 y 51
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Tabla de logaritmos de todos los numeros naturales desde 1 hasta 20000, y de los logaritmos de los senos, tangentes de todos los grados y minutos del quadrante de círculo
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Pág. 125
Pág. 136 y 137
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Pág. 202
Pág. 428 y 429
Pág. 530 y 531

En otros libros de los Elementos se expone la relación de los logaritmos con las integrales y diferenciales. En conjunto en los libros de Bails se ofrece una información muy completa sobre la materia, aunque no sea muy original. Además se muestra bien informado de los avances habidos en otros países. Sin embargo, no deja de tener algunos desaciertos. Por ejemplo, Bails afirma que “el logaritmos de toda cantidad negativa ha de ser el mismo que el de la cantidad positiva igual con ella” (Elementos, v. X, p. 127) afirmación muy problemática, que se puede superar aceptando como proponía Euler que:

ez = ex+iy = ex (cos y + i sen y)

y recíprocamente que ln(–1) = i (π + 2kπ), k ∈ Z.

Pero para aceptar esas igualdades se necesitaba tener una visión amplia de los números complejos, que no se encuentra en los textos españoles hasta bien entrado el siglo XIX, tal vez hasta la Teoría trascendental de las cantidades imaginarias (1865) del filósofo cordobés J. Mª. Rey Heredia.

Pese a esos aspectos, los logaritmos pasaron a ser un apartado habitual de los libros españoles de matemáticas. Tuvieron, incluso, bastante éxito. El libro de matemáticas más reeditado en la Península Ibérica es Tablas de logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000 del matemático y político gallego Vicente Vázquez Queipo, que se editó por primera vez en Madrid en 1853 y posteriormente se ha ido reimprimiendo hasta 1974, al menos. Aunque en la portada de esta última figura que es la 45ª edición probablemente fueron muchas más pues una reimpresión de 1964 se anunciaba como la 50ª.

Vicente Vázquez Queipo
Tablas de logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000
Vicente Vázquez Queipo
Tablas de logaritmos vulgares de los números desde 1 hasta 20000

 
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