|
Todos los juegos que hemos ido realizando en todas las ediciones de este rincón tienen un resultado perfectamente determinado por alguna propiedad o principio matemático. Incluso cuando intervenía un proceso probabilístico, como era el juego descrito en la entrega anterior (ver "Todos ganan a todos"), podíamos controlar de forma exacta el resultado final.
En esta ocasión, realizaremos un juego que puede fallar en algunas ocasiones (no muchas), lo cual hace que sean más sorprendentes las veces en que se acierta. Sigue las instrucciones que vienen a continuación.
- He mezclado la baraja y he repartido todas las cartas caras arriba sobre la mesa.
Ha resultado la disposición siguiente:
- Piensa un número del uno al diez.
- Cuenta, empezando por la primera carta de la izquierda, tantas cartas como el número pensado. Cuenta de izquierda a derecha y, al terminar una fila, sigue con la siguiente, también de izquierda a derecha.
- Esto te llevará a la primera carta clave. De acuerdo con el número de la misma, vuelve a dar tantos pasos como su número indica, empezando por ella. Si la carta es una figura, cuenta cinco pasos. [Por ejemplo, si has pensado el uno, llegarás al dos de copas. Como es un dos, en el siguiente recorrido darás dos pasos.]
- Llegarás a tu segunda carta clave. Sigue el mismo procedimiento anterior, con lo que irás pasando por sucesivas cartas claves.
- El proceso termina en alguna carta con la que no puedas continuar, es decir, cuando llegues a una carta clave que no tenga a continuación suficientes cartas para completar su número.
- Fíjate en esta última carta y recuérdala.
Pues bien, a pesar de la aleatoriedad del proceso (has podido pensar cualquier número), voy a descubrir el valor de dicha carta.
Haz clic en el sobre y comprueba que mi predicción coincide con la carta donde has finalizado el recorrido.
|
¿Quieres hacer el papel de mago? Busca una espectadora y una baraja de cartas. Vale cualquier baraja pero las probabilidades de éxito aumentan con una baraja de 52 cartas.
Entrega la baraja a la espectadora para que la mezcle. Mientras tanto, debe elegir secretamente un número entre 1 y 10.
Con la baraja mezclada, la espectadora reparte cartas sobre la mesa, una a una y caras arriba, contando silenciosamente hasta llegar a su número secreto.
Al llegar a dicho número, debe observar la última carta repartida y observar el valor de dicha carta. Con ese número en mente, seguirá repartiendo sobre la mesa tantas cartas como indica dicho número.
Nuevamente se fijará en la última carta repartida y repetirá el proceso con ese nuevo número.
Si en algún momento del proceso, la última carta repartida es una figura, en el siguiente reparto contará hasta cinco.
También es importante que realice el proceso sin pausas, para no dar ninguna pista sobre las cartas en las que se detiene en cada paso del proceso.
Cuando no haya suficientes cartas en la mano para seguir con el proceso (porque la última carta repartida tiene un valor mayor que el número de cartas restantes), el recorrido termina y la espectadora recordará la última carta repartida.
Ahora tú puedes adivinar dicha carta. Para ello, has de realizar mentalmente el mismo proceso que la espectadora pero eligiendo como valor inicial el uno.
Aunque no sea el número pensado por la espectadora, al final casi siempre llegaréis al mismo destino.
| Este tipo de recorrido aleatorio por la baraja recibe el nombre de cuenta Kruskal, gracias a su descubridor, el físico-matemático Martin Kruskal (personaje de la foto adjunta). |
Martin Kruskal (1925-2006)
|
Ya se deduce, a partir del proceso seguido, que el método de adivinación no puede consistir en habilidad técnica, sino en algún principio matemático. Como el método es directo, la única consecuencia plausible es que el resultado será independiente de las condiciones iniciales. Para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final: concretamente, la probabilidad de que esto ocurra es mayor de 0,8. Dicha probabilidad varía al asignar otros valores a las figuras: si la sota cuenta 10 pasos, el caballo 11 y el rey 12, la probabilidad se reduce a menos de 70%. El modelo matemático que mejor se ajusta a las características de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos estocásticos, de gran interés en ciertas aplicaciones estadísticas. La pregunta que surge de forma natural es entonces: ¿cuál es la propiedad en que se basa este resultado? Sin pretender ofrecer una respuesta completa, daremos algunas indicaciones que permitirán entender el principio de Kruskal.
- La distancia entre los valores iniciales de dos personas es menor que 10 (con probabilidad uniforme).
- Los sucesivos paseos aleatorios conducen a valores con distancia menor que 10. Los posibles valores forman los estados de un proceso de Markov.
- Desde el momento en que dos personas lleguen a la misma carta, los valores posteriores serán los mismos.
- La probabilidad de llegar al mismo resultado empezando por cartas distintas es mayor de 0,8. Disminuye a 0,7 si las figuras valen diez.
- La mejor estrategia para coincidir con un espectador consiste en empezar la caminata eligiendo el uno como valor inicial.
Puedes leer un artículo matemático que explora las propiedades de esta cuenta en xxx.lanl.gov/abs/math.PR/0110143
La sorpresa que produce este resultado hace que el principio se haya aplicado en otros contextos: por ejemplo, para explicar coincidencias en frases bíblicas, contando el número de letras de las palabras que se obtienen en cada paso. Aficionados a la numerología han usado la propiedad como prueba del origen divino de la Biblia (si tienes curiosidad, visita la página http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html).
Una versión interactiva del juego puedes realizarla online en oldweb.cecm.sfu.ca/cgi-bin/organics/carddemo.pl.
|
46. (Enero 2008) Predicción casi segura
