169. (Marzo 2019) Cartas perforadas
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Viernes 01 de Marzo de 2019

Una predicción ESPecial Los más antiguos del lugar todavía recordamos la época prehistórica de la computación, cuando lo más parecido a un dispositivo portátil era un paquete de tarjetas perforadas, las cuales contenían el conjunto de instrucciones que debía seguir un gigantesco ordenador para realizar un simple programa. Y, ¡cuidado con perder una de ellas o alterar su orden si no queríamos pasar horas días semanas tratando de descubrir el error!

Esas tarjetas de memoria -como la de la imagen que encabeza este artículo- eran cartulinas que podían contener hasta 80 columnas, las cuales, convenientemente perforadas para representar un código binario, almacenaban hasta 70 bytes de datos. Así que un miserable lápiz de memoria actual con 1GB de capacidad de almacenamiento sería equivalente a llevar 14 millones de tales tarjetas. Pero la idea original no se ha abandonado del todo: aunque ya no vemos las perforaciones, los dispositivos actuales también basan su funcionamiento en el uso de códigos binarios mediante "perforaciones" en secciones determinadas de su superficie. La diferencia está en su versatilidad, tamaño, capacidad, etc.

Lo curioso de las tarjetas de memoria es que su origen no proviene de la informática sino de la industria textil. Fueron creadas en 1725 por Basile Bouchon y mejoradas en 1726 por Jean-Baptiste Falcon pero su despegue se produjo cuando, en 1801, Joseph Marie Jacquard creó un telar que funcionaba a base de tarjetas perforadas para la elaboración de los diseños. Solo entonces fue cuando Charles Babbage desarrolló en 1835 su famosa máquina analítica, la cual se programaba mediante tarjetas perforadas.

Tarjetas perforadas de los telares de Jacquard

Pues bien, este tipo primitivo de codificación permite idear juegos de magia basados en la aritmética binaria. Dejamos para una próxima ocasión más detalles sobre el funcionamiento de este tipo de juegos dejándote la oportunidad de que descubras por ti mismo los que te proponemos esta vez.

El juego de este mes está descrito por uno de nuestros lectores, Javier Serrano, que es también gran aficionado a los juegos mágico-matemáticos como se puede comprobar recorriendo su página web (http://olmo.pntic.mec.es/~aserra10/). Cedo la palabra -mejor dicho, la redacción- a Javier.

PREPARACIÓN Y MANIPULACIÓN DE LAS CARTAS

Para preparar este juego necesitaremos ocho cartas, numeradas desde el A hasta el 8. Los palos de las cartas son indiferentes, pero hemos de asegurarnos de que todas las cartas pares sean de un color y las impares de otro. En este manual hemos optado por el rojo para las impares y por el negro para las pares.

Ahora, a cada carta le vamos a hacer unos cuantos agujeros y unas cuantas ranuras. Los agujeros se pueden hacer con cualquier perforadora de papel. Para hacer las ranuras es conveniente hacer primero un agujero con la perforadora y, luego, con las tijeras, terminar de hacer la ranura. En la siguiente figura se muestran los agujeros y ranuras que deben hacerse en cada carta.

Ya están las cartas preparadas. Ahora necesitamos hacernos con un clavo o un alfiler que pase por los agujeros de forma holgada. Una horquilla de pelo es muy recomendable porque sirve, además, para sujetar las cartas y evitar pérdidas.

PRIMER EFECTO: EXTRAER LA CARTA ELEGIDA POR EL ESPECTADOR

El matemago muestra las cartas para que se vea que están numeradas del As al Ocho, mientras explica que son cartas tecnológicas y que los agujeros son puertos USB. Le da el mazo a un espectador para que las baraje cuanto quiera y dice que el clavo es un ordenador portátil de último grito. Que es portátil salta a la vista por su tamaño, que es de último grito está claro porque si se lo clavara al espectador seguro que gritaría y que es un ordenador se pondrá de manifiesto inmediatamente, porque el clavo es capaz de ordenar, clasificar y seleccionar las cartas.

Una vez recuperado el mazo, le pide al espectador que elija un número entre el 1 (el As) y el Ocho. Dicho este número, el mago opera como sigue:

  1. El matemago descompone mentalmente el número elegido N por el espectador como suma de 1, 2 y 4. Digamos

    N = a1 + a2 + a4, siendo ai ∈ {0, i}.

    La única salvedad es que, si N = 8, entonces se descompone N = 0 + 0 + 0.

    La siguiente tabla da la descomposición en tres sumandos de todos los casos posibles:

    Nº elegido

    Sumandos

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8

    1+0+0
    0+2+0
    1+2+0
    0+0+4
    1+0+4
    0+2+4
    1+2+4
    0+0+0

  2. Pasa el clavo por el agujero superior. Si a1 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a1 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa.

  3. Con el paquete elegido (de 4 cartas), introduce el clavo por el agujero central. Si a2 = 0, se queda con el paquete del clavo dejando el otro en la mesa. Si a2 ≠ 0, se queda con el paquete de la mano dejando el otro en la mesa.

  4. Con el paquete elegido (de 2 cartas), introduce el clavo por el agujero inferior. Si a4 = 0, se queda con la carta del clavo dejando la otra en la mesa. Si a4 ≠ 0, se queda con la carta de la mano dejando la otra en la mesa.

  5. La carta elegida es la del espectador.

SEGUNDO EFECTO: SELECCIÓN POR COLORES

  • Paquetes del mismo color

    1. Se le vuelve a entregar al espectador el mazo para que las mezcle de nuevo. El clavo, dice el matemago, no solo selecciona cartas por su número, también lo hace por su color. Y para que se vea claro que no hay trampa (en esto, el matemago ya ha metido el clavo por el agujero superior y ya tiene dos paquetes hechos, uno en la mano y otro en el clavo) le pide al espectador que decida él mismo dónde colocará el paquete del clavo, encima o debajo del paquete de la mano.

    2. El matemago sigue las indicaciones del espectador. Insistiendo en que es él quien decide, se introduce el clavo por el agujero central y se le vuelve a preguntar al espectador dónde coloca el paquete del clavo. Luego se hace lo mismo tras pasar el clavo por el agujero inferior.

    3. Formado el último mazo, el matemago reparte dos manos de cartas, una para el espectador y otra para él mismo. Cada paquete así formado contiene cuatro cartas del mismo color.

  • Parejas de colores

    1. Resulta que el clavo, dice el matemago, no solo es un ordenador portátil de último grito, además es un romántico al que le gusta unir parejas, se cree que es Cupido el infeliz. El matemago, con el mazo en la mano, explica que en las cartas el amor se demuestra por el color, dos cartas rojas se quieren, dos cartas negras también se quieren, aunque quizá esto sea un poco racista. Podríamos hacer parejas también de distinto color, ¿qué prefiere usted? El espectador entonces elige hacer “parejas del mismo color” o “parejas de distinto color”.

    2. El mismo espectador baraja las cartas y él mismo será quien decida si, una vez arrastradas las cartas por el clavo, éstas se colocan encima o debajo del montón de cartas de la mano del matemago. No puede haber mayor libertad de elección. Siguiendo las instrucciones dadas por el espectador, el matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador.

    3. El matemago reparte dorso arriba, una al lado de otra, formando una fila, cuatro cartas sobre la mesa. Si el espectador eligió “parejas del mismo color” coloca la quinta carta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera y la octava sobre la cuarta; si el espectador eligió “parejas de distinto color”, entonces la quinta carta la deposita sobre la cuarta, la sexta sobre la tercera, la séptima sobre la segunda y la octava sobre la primera.

    4. En cualquier caso se forman cuatro parejas de cartas que, al voltearlas, forman pareja siguiendo los deseos del espectador.

TERCER EFECTO: EFECTO DADO

  1. Mientras el espectador vuelve a mezclar las cartas, el matemago le pregunta si sabe cómo están colocados los números en un dado (o mejor, saca un dado y le pide que observe las caras opuestas). El caso es dejar bien claro que las caras opuestas de un dado suman siempre 7.

  2. Pues resulta que las cartas, que no son muy listas, no saben que son cartas y se creen que son un dado. El matemago va introduciendo el clavo en el agujero superior, luego en el central y, finalmente, en el inferior, colocando, cada vez, las cartas arriba o abajo, según el deseo del espectador. Las cartas se empeñan en ser un dado y lo demuestran colocándose, mágicamente, de forma que sus caras opuestas sumen 7, salvo el 8 claro, que en este caso no cuenta y se tomará como 0.

  3. Las caras opuestas de la baraja son la carta superior y la inferior. El matemago va formando parejas con estas cartas, la superior y la inferior, y las coloca boca arriba sobre la mesa, comprobando que, efectivamente, la suma de valores es siempre 7. Incluso en la pareja en la que aparece el 8 (que ahora vale 0) ya que la otra carta será el 7.

CUARTO EFECTO: AÚN HAY MÁS

  1. Se le pide al espectador que vuelva a mezclar las cartas, haciéndole ver que ya las ha mezclado un montón de veces. Tras recoger el mazo de manos del espectador (y comprobar que todas las cartas queden con los agujeros a la derecha una vez colocadas de dorso), el matemago introduce el clavo por el agujero superior y coloca las cartas arrastradas por el clavo sobre las cartas de la mano. Tras recomponer el mazo, introduce el clavo por el agujero central y coloca las cartas del clavo sobre las de la mano. Finalmente, introduce el clavo por el agujero inferior arrastrando cuatro cartas que también coloca sobre las de la mano.

  2. Ahora voy a enseñarle una cosa prodigiosa, más prodigiosa aún que todo lo que hemos visto ya. El clavo, dice el matemago, ha colocado en primer lugar una carta que es mayor que cualquier número que usted diga. Piense usted cualquier número, no tiene por qué restringirse a los números que aparecen en una baraja, puede decir el número que usted desee, con las cifras que usted quiera. Estoy seguro de que el clavo ha colocado como primera carta del mazo una carta mayor que el número que usted diga. Cuando el espectador dice el número, el matemago le muestra la primera carta del mazo (que es el 8) y le pregunta si es mayor que el número dicho. Como el espectador dirá que no, el matemago extrañado mira la carta y le dice que la está viendo mal. Entonces la gira para ponerla horizontal y le dice que el valor de la carta es infinito y, por tanto, mayor que el número elegido por el espectador. El matemago coloca el 8 en la parte inferior del mazo, deja el mazo sobre la mesa y sigue la charla.

  3. Pero aún hay más, el clavo es también un adivino. Yo ahora le voy a pedir un número entre 1 y 8, pero el clavo ya sabe qué número va a elegir y no solo ha localizado esa carta sino que, además, la ha colocado en su lugar correspondiente, es decir, que si usted me dice 3, la carta número 3 ha de estar colocada en tercer lugar. ¿No es maravilloso? Veamos si es verdad. Fíjese que yo no toco las cartas, es el clavo quien ya lo ha hecho todo. Dígame un número entre 1 y 8.

  4. El matemago busca la carta que ocupe el lugar dicho por el espectador, la gira y efectivamente es la carta elegida.

  5. Pero aún hay más, el clavo no solo ha localizado y colocado su carta, además, como gran final, ha ordenado todas las cartas, mire: se voltean las cartas y a la vez se va diciendo su nombre: As, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete y ocho. Las cartas, efectivamente, aparecen en el orden que se dice.

Comentarios finales:

  1. Como habrás comprobado, tienes frente a ti dos buenos ratos de entretenimiento: el primero cuando realices esta secuencia de juegos ante tu público y el segundo cuando trates de descubrir el funcionamiento matemático de los mismos. Para ello, deberás hacerte algunas preguntas como: ¿qué tipo de perforaciones tienen las cartas?; ¿cómo se distinguen las cartas rojas de las negras?

  2. Sí, yo también me he planteado preguntas del tipo: ¿por qué se utilizan solo 8 cartas?, ¿con qué otra cantidad de cartas se podrían realizar estos juegos?, ¿cómo deberían hacerse las perforaciones? Trataremos de responderlas en un futuro próximo pero no hay que ser adivino para suponer que, antes de nosotros, Martin Gardner ya se lo había planteado.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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