173. (Julio 2019) Con dos caras
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Lunes 08 de Julio de 2019

Con dos carasEn diciembre de 1956 apareció en la revista Scientific American el artículo de Martin Gardner titulado "Flexagons", donde daba a conocer públicamente esas figuras descubiertas 17 años antes por el matemático británico Arthur Stone y cuyas propiedades se habían mantenido ocultas entre los miembros del "Princeton Flexagon Comittee", formado por estudiantes y profesores de la Universidad de Princeton. No vamos a describir aquí estas figuras porque se pueden encontrar multitud de referencias en la literatura (por ejemplo el primer capítulo del libro "Gardner para principiantes", RSME/SM - 2014, está dedicado a los flexágonos); solo diremos que se trata de hojas de papel dobladas convenientemente para conseguir que tengan más de las dos caras habituales. Por sí sola, esta propiedad bastaría para considerar a los flexágonos como objetos mágicos, a modo de complemento de la banda de Moebius que también es una hoja de papel doblada convenientemente para que tenga solo una cara.

Existen muchos modelos de flexágonos, los cuales se clasifican según la forma geométrica final de la hoja de papel y el número de caras que puede tener. Por ejemplo, se llama tetraflexágono al que tiene forma cuadrada (en general al que tiene cuatro lados) y el más común tiene cuatro caras, por eso recibe el nombre de tetratetrahexágono. En este video y este otro enseñan a construir dos modelos. Más sorprendente es el hexatetraflexágono, que tiene forma cuadrada y puede mostrar hasta seis caras (como el que enseñan a construir en este video).

Con dos carasSirva el preámbulo anterior para presentar el juego de hoy, que no es un juego sino un método para construir un flexágono; de hecho tampoco será un flexágono porque se construye con varias piezas aunque mantiene la propiedad básica: se puede plegar y desplegar para mostrar varias caras. Más importante que la construcción que vamos a mostrar es la fuente original en la que se encuentra y el autor de dicha creación. Harapan Ong es un profesor singapurense de física y mago de gran habilidad técnica (puedes encontrar diversos videos en Youtube donde muestra sus habilidades). Como él mismo se define "de día soy un querido profesor de física, de noche soy un misterioso y elegante mago". Recientemente ha escrito el libro "Principia" (Vanishing Inc, 2018), título quizá inspirado en el famoso "Philosophiae naturalis Principia Mathematica" obra magna escrita por Isaac Newton y publicada precisamente el 5 de julio de 1687 pero también posiblemente en el no menos famoso "Principia Mathematica" de Bertrand Russell y Alfred Whitehead. De hecho, el libro de Harapan Ong está escrito como una secuencia de artículos de investigación científica pues todos los juegos se describen siguiendo la secuencia abstract / introduction / methodology / results / analysis and discussion / conclusion / references.

Uno de los capítulos del libro es el artículo titulado Flexacard, el cual contiene la construcción que mostraremos en esta ocasión. Se trata de una carta, aparentemente normal, pero que tiene dos caras y, aparentemente, un solo dorso. Si quieres construirlo, sigue las instrucciones que se indican a continuación.

  1. Encuentra una baraja cuyos dorsos tengan un diseño simétrico y no tengan orla blanca (como las que se usan tradicionalmente en los casinos). Selecciona dos cartas de dicha baraja, que sean muy diferentes entre sí (como una roja y una negra o una figura y un número). En nuestro caso, utilizaremos el tres de corazones y el rey de picas.

  2. Corta cada una de las cartas en cuatro partes exactamente iguales, como en la figura adjunta:

  3. Junta los dos trozos que corresponden a la parte superior derecha de ambas cartas y pégalos por sus dorsos para tener un trozo que muestra el tres de corazones por un lado y el rey de picas por el otro. Realiza la misma operación con los trozos correspondientes a la parte inferior izquierda de cada carta. A continuación, coloca los seis trozos como se indica en la figura (las flechas indican que la parte de atrás es la carta pegada con el valor señalado):

  4. Une los trozos con cinta adhesiva dejando una separación entre cada trozo del grosor de una carta (para poderla plegar posteriormente). Los lugares por donde deben unirse los trozos están indicados en la figura siguiente (aunque, evidentemente, la cinta debe ser invisible):

  5. Pasa los dos trozos que muestran la cara del tres de corazones por detrás del trozo que está de dorso. Pasa también el trozo inferior derecho, que está de cara, por encima del otro trozo que está de cara (las flechas indican el lugar donde debe doblarse).

  6. El resultado final tendrá la apariencia del dorso de una carta. Pega por último con cinta adhesiva por donde indica la figura:

Si das la vuelta a la carta, verás los cuatro trozos que corresponden al tres de corazones. Cierra la carta como si fuera un libro y vuelve a abrirla por la parte de atrás. Se verá nuevamente el dorso de una carta pero, al darle la vuelta, aparece el rey de picas.

Dejamos a la imaginación del lector la creación de algún juego de magia con esta carta o, mejor aún, alguna variación de esta construcción que permita mostrar más de dos cartas. La carta doble, por sí misma, constituye un elemento mágico que puede servir como punto de partida para un estudio más completo de los flexágonos.

Observaciones finales:

  1. Se pueden encontrar otros modelos de cartas con varias caras, como la Carta Flexagon Infinity, de la página jeguridos.com.

  2. Merece la pena estudiar el trabajo de Anthony Conrad y Daniel Hartline, titulado precisamente Flexagons, publicado en 1962, pues constituye un estudio matemático clásico y muy completo de los flexágonos.

  3. Si quieres pasar más ratos entretenido con los flexágonos, te recomiendo el libro The magic of flexagons (1999), de David Mitchell, que contiene material para fabricar tus propias figuras. En particular, contiene un modelo de tetraflexágono en el que aparecen los cuatro ases de las baraja.

  4. Se pueden encontrar incluso juegos online relacionados con los flexágonos, como el Flipagon.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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