178. (Enero 2020) Números interesantes
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178. (Enero 2020) Números interesantes |
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| Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) |
| Martes 07 de Enero de 2020 |
¿Quién se atreve a afirmar que no todos los números son interesantes? Vamos a otorgar momentáneamente al osado el beneficio de la duda. Con esta premisa, separaremos el conjunto de los números en dos tipos: el de números interesantes y el de números aburridos. Por muchos números aburridos que existan habrá alguno que sea el menor de todos. Eso lo convierte en interesante pues tiene el honor de ser "el primero de los números aburridos". Habrá que quitarlo de aquí y colocarlo en el grupo de números interesantes. Si empezamos de nuevo el razonamiento anterior, habrá otro número aburrido que se convierte en interesante por pasar a ser ahora "el primero de los números aburridos". Tarde o temprano, según el tamaño de tu conjunto inicial de números aburridos, ese conjunto se vaciará y todos los números pasarán a ser interesantes. ¿No te ha convencido el argumento? Claro, es una típica falacia obtenida como consecuencia de una definición imprecisa y ambigua. Porque si una definición no caracteriza de forma exclusiva el objeto definido, ya no es definición. Así que, para hablar de lo interesantes que son algunos números, debemos establecer una definición completa; lamentablemente, no existe definición matemática de una cualidad tan subjetiva como esta. Esta discusión, que tiene su origen en una anécdota ocurrida entre los matemáticos Srinivasa Ramanujan (1887-1920) y Godfrey Hardy (1877-1947) sobre el número 1729, es un buen punto de partida para mostrar algunas características distintivas de los números que sí permiten proporcionar definiciones y crear distintas personalidades a diferentes conjuntos numéricos. Vamos a romper con la tradición y, antes de mostrar algunos ejemplos, hagamos un juego donde los protagonistas sean los números, aunque disfrazados de cartas.
Te preguntarás porqué hemos dicho que lo importante de las cartas son los números cuando lo que hemos conseguido es separar caras felices de caras infelices. Resulta que, precisamente, los números que aparecen en las caras felices se llaman oficialmente números felices y los otros son los llamados números infelices. ¿Qué propiedad distingue unos números de otros? Antes de dar la definición, elige un número, digamos 2019, y calculemos la suma de los cuadrados de sus cifras: 22 + 12 + 92 = 86. Repitamos la operación con el resultado: 82 + 62 = 100. Al repetir el proceso, sale el número 1 y no hay forma de seguir. Esto caracteriza a los números felices: la secuencia de números que se obtiene después de las operaciones indicadas termina en 1. ¿Qué pasará con el próximo año 2020? 22 + 22 = 8 → 82 = 64 → 62 + 42 = 52 → 52 + 22 = 29 → 22 + 92 = 85. A partir de ahora, se repite el ciclo 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, lo que impide que la secuencia termine en 1. Eso hace que el número sea infeliz (recuerda que es un concepto matemático, no una predicción sobre lo venturoso del nuevo año). Mira en este enlace los primeros números felices, los cuales hemos usado en el juego anterior. Si quieres entretenerte descubriendo propiedades de números, visita la página Find the factors, donde aparece la imagen de la portada formada por los primeros números pentagonales. De ellos, el 70, 176, 376, 1247 y 1335 son también felices. En el portal Numbers Aplenty puedes encontrar gran variedad de conceptos sobre características temperamentales de los números. En particular, la sección happy numbers contiene la lista de los números felices. En realidad, he querido incluir este juego en nuestro rincón para hablar del libro de donde lo he adaptado. Nuestro buen amigo Francisco González, colega por partida doble -pues es mago y matemático- ha publicado recientemente el libro titulado «Matemagia: descubre la magia de las matemáticas». El libro se divide en cuatro capítulos (uno por cada palo de la baraja), cada uno de los cuales contiene 13 juegos (uno por cada valor de las cartas) de magia matemática de todo tipo, y con diferentes materiales. Lo destacable de su trabajo es el toque personal en cuanto a las presentaciones de los juegos y el diseño particular de los elementos que utiliza. Precisamente, el capítulo 3 está dedicado a juegos que se realizan con una baraja muy especial, que él define como baraja de tipos: cada carta es un número con alguna característica especial, ya sea número perfecto, poderoso, narcisista, modesto, feliz, hambriento, etc. La siguiente imagen muestra algunos ejemplos de esta selección.
De este modo, las propiedades matemáticas de los juegos de cartas se cumplen para familias de números relacionados entre sí por alguna propiedad aritmética, dando personalidad y carácter a estas cartas. La vertiente didáctica de este enfoque es muy interesante y se agradece el esfuerzo y generosidad del autor ofreciendo la posibilidad de descargar estas cartas especiales así como el resto de material utilizado en este libro. Puedes consultar directamente con el autor ( Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla ) para recibir más información sobre su retoño. Comentarios finales: Precisamente el inicio del nuevo año es propicio para explorar las características numerológicas del número que representa. Entre la multitud de propiedades interesantes que hemos ido compartiendo entre los matefrikis, me gustaría destacar dos de ellas:
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El famoso teorema de los cuatro cuadrados conjeturado por Diofanto de Alejandría (siglo III) y demostrado por Joseph Louis Lagrange en 1770 afirma que todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de enteros positivos. Lo que no es tan común es que dichos números sean primos y, lo que es más difícil todavía, que sean primos consecutivos.