185. (Septiembre 2020) Pascal en Technicolor
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Jueves 03 de Septiembre de 2020

[Imagen extraída del artículo Pyramid Mysteries de Ehrhard Behrends.]

Comenzábamos el número anterior de nuestro rincón (julio de 2020) destacando que el triángulo de Pascal oculta muchas propiedades que podemos convertir en juegos de magia. Allí desarrollamos dos juegos que aprovechaban las características especiales del triángulo cuando se escriben sus elementos en base nueve o base diez. Terminábamos dicho artículo proponiendo una versión basada en propiedades de la aritmética binaria.

Como se puede suponer, es posible diseñar versiones del juego para cualquier sistema de numeración pues las características se mantienen y el secreto es el mismo en todos ellos. El problema es que no resulta natural en un juego de magia pedir la construcción de un triángulo donde los números utilizados no sean mayores que cierta cantidad, salvo que exista una justificación adecuada. En algunos casos, resulta bastante sencillo plantear alguna excusa; por ejemplo, se puede disimular el uso de la aritmética binaria utilizando los colores de las cartas de una baraja, rojo y negro, si establecemos, por ejemplo, la correspondencia “rojo = 0”, “negro = 1”. De este modo, como la tabla de sumar en la aritmética binaria es simplemente 0 + 0 = 1 + 1 = 0 y 0 + 1 = 1 + 0 = 1, podríamos plantear el siguiente juego, para el que necesitarás solamente una baraja (y una mesa despejada).

  1. Coloca sobre la mesa, y formando una fila, un conjunto de cartas, con las caras hacia arriba.
    Supongamos, por ejemplo, que las cartas colocadas son las siguientes:

  2. Construye una segunda fila sobre la anterior, siguiendo estas reglas relativas a dos cartas consecutivas:

    • Sobre dos cartas del mismo color, coloca una carta roja (por aquello de que 0 + 0 = 1 + 1 = 0).

    • Sobre dos cartas de distinto color, coloca una carta negra (representando las sumas 1 + 0 = 0 + 1 = 1).

    Siguiendo nuestro ejemplo, como las dos primeras cartas son de distinto color, sobre ellas se colocaría una carta negra; como la segunda y tercera cartas son del mismo color, sobre ellas se colocaría una carta roja. Al repetir este proceso con todas las parejas de cartas consecutivas, llegaríamos a una segunda fila que tendría esta pinta:

  3. Sigue formando filas de cartas sobre las anteriores obedeciendo las mismas reglas anteriores.

  4. Al final llegarás a una fila formada por una sola carta, que podrá ser roja o negra.

Pues bien, una simple inspección de la primera fila proporciona información suficiente para saber el color de la última carta colocada.

Ahora viene la inevitable cuestión: ¿cómo deducir rápidamente cuál será el color de la última carta? La respuesta se basa nuevamente en interpretar el triángulo de Pascal escrito en el sistema binario y realizar la correspondencia que habíamos establecido entre los colores y los números. Hay que tener en cuenta que la operación puede ser más o menos inmediata según el número inicial de cartas. Por esta razón, es conveniente que el número de cartas que se colocan en la primera fila se corresponda a una fila del triángulo de Pascal que sea fácilmente identificable. Veamos los casos más simples a la vista de este triángulo, donde el color rojo corresponde al cero y el color azul al uno:

  • Si el número inicial de cartas es una potencia de dos (2, 4, 8, 16, etc.), la fila correspondiente del triángulo de Pascal sólo contiene unos. Por tanto, el mago debe contar el número de cartas negras (o rojas) que hay en la primera fila formada por el espectador. Si hay un número par, la carta final será roja; si hay un número impar, la carta final será negra. Este es precisamente el caso que hemos puesto como ejemplo, donde colocamos ocho cartas en la primera fila; como cuatro de ellas son negras, la carta que ocupará la última fila será roja.

  • Si el número inicial de cartas es una unidad mayor de una potencia de dos (3, 5, 9, 17, etc.), la fila que le corresponde en el triángulo de Pascal sólo contiene ceros, salvo los dos unos en los extremos. Basta fijarse en los colores de las cartas en los extremos: si son del mismo color, la carta final será roja; si son de distinto color, la carta final será negra.

  • Si el número inicial de cartas es una unidad menor que una potencia de dos (3, 7, 15, 31, etc.), la fila que le corresponde en el triángulo de Pascal contiene unos y ceros de forma alternada. Así pues, el mago debe contar el número de cartas negras que ocupan los lugares impares. Como en el primer caso, si hay un número par, la carta final será roja; si hay un número impar, la carta final será negra.

Así pues, un poco de psicología barata ayudaría en las demás situaciones: si el número de cartas que coloca el espectador no corresponde a uno de estos tres casos, el mago podría pedirle que añadiera algunas cartas más para «complicar» la adivinación. En caso necesario, el mago podría incluso completar él mismo las primeras filas como «ejemplo» de lo que pretende que haga el espectador hasta llegar a un número de cartas donde el cálculo sea sencillo.

A pesar del innegable interés didáctico del juego, no parece muy mágico intentar adivinar un color entre dos posibles, pues la probabilidad de acertar es del 50%. De hecho, el objetivo principal de esta entrega es el de presentar una versión más divertida y sorprendente: el caso de la aritmética en base tres.

La idea básica es similar a la anterior pero, como no hay cartas de tres colores en las barajas (aunque Colm Mulcahy propone usar tres palos de la baraja o bien distinguir entre cartas rojas, negras o de dorso), lo realizaremos con cartulinas de colores. Para ello, sería interesante disponer de un surtido de tarjetas o cartulinas de tres colores. En condiciones normales, bastará con 25 rojas, 25 azules y 25 verdes. Para una versión simiplificada en papel, necesitarás tener a mano tres rotuladores, uno rojo, uno verde y uno azul. En cualquier caso, para comprender el desarrollo del juego, deberás seguir estas indicaciones:

  1. Coloca diez de las cartulinas en una fila, con los colores al azar.
    En esta imagen mostramos un ejemplo (por el momento, los números no son importantes):

  2. Sobre esta fila, coloca otra fila de nueve cartulinas, siguiendo estas reglas:

    • Si dos cartulinas consecutivas son del mismo color, coloca sobre ellas otra del mismo color que ambas.

    • Si dos cartulinas consecutivas son de distinto color, coloca sobre ellas una cartulina del color diferente a ambas.

    Según el ejemplo anterior, las dos primeras filas serían como las de esta imagen (las dos primeras son rojas, de modo que la fila superior empieza en rojo; la segunda es roja y tercera es verde, de modo que sobre ellas irá una azul; la tercera es verde y la cuarta es azul, con lo que sobre ellas irá una roja; y así sucesivamente):

  3. Continúa formando filas con las cartulinas de colores siguiendo las mismas reglas establecidas en el punto anterior hasta llegar a una fila con una sola cartulina.

    Siguiendo con el ejemplo, el triángulo completo sería el que termina en una cartulina verde como se ilustra a continuación:

Sí, has adivinado: una vez colocada la primera fila de cartulinas, puedo saber el color de la cartulina que ocupará el vértice superior del triángulo.

La solución es sorprendentemente simple: basta aplicar las reglas anteriores a la primera y última cartulinas de la primera fila. En el ejemplo con el que hemos ilustrado el proceso, como estos colores son rojo y azul, la cartulina que ocupará la última fila deberá ser verde. Por cierto, ¿te has percatado de que las mismas reglas se aplican a los triángulos sombreados que tienen cuatro cartulinas en cada lado? ¿Y que esas mismas propiedades se mantienen al girar 120 grados cualquiera de esos triángulos?

Te habrás preguntado también qué interpretación tienen los números asociados a cada color. La respuesta es que las dos reglas de formación del triángulo a partir de los colores corresponden a unas operaciones aritméticas con sus números. Estas operaciones pueden sintetizarse en la siguiente tabla (mostramos las dos versiones, la de colores y la de números):


A R V
A A V R
R V R A
V R A V

0 1 2
0 0 2 1
1 2 1 0
2 1 0 2

Como se puede comprobar, no se trata de la suma habitual, ni siquiera en base tres, pero sí conserva las propiedades algebraicas básicas: es conmutativa y asociativa. Esto significa que este juego ya no está basado en el triángulo de Pascal y hay que buscar la solución mediante otros argumentos.

Es posible que estas pistas te sugieran la justificación del funcionamiento del juego. Por si acaso, en este enlace propongo mi versión, que no requiere conocimientos matemáticos.

OBSERVACIONES FINALES:

Los dos juegos que hemos descrito tienen un gran recorrido histórico que me gustaría compartir.

  • Sobre el triángulo de Pascal binario, hace unos años recibí un mensaje de Ricardo Ramírez, músico y seguidor de este rincón. En su comunicación describía este juego sugerido por un problema que le propuso su profesor de Análisis Matemático, el recordado Miguel de Guzmán, precisamente el problema que planteábamos en este rincón al final de la entrega 58 de febrero de 2009. Copio y pego el último párrafo de aquel artículo:

    Por último, un problema:
    Escribe una sucesión de ceros y unos. Debajo de cada par consecutivo escribe un cero si los dos números son iguales, y un uno si son distintos. Repite el proceso hasta que te quede un único dígito en la sucesión. ¿Puedes predecir cuál va a ser el dígito final? Si conoces la respuesta, puedes realizar un juego de magia simulando los unos con cartas cara arriba y los ceros con cartas cara abajo (o viceversa).

    Pues bien, al proceso eliminatorio que parte de una fila de cartas, rojas y negras, y construye sucesivamente filas de cartas hasta llegar a una fila con una sola carta a partir de las reglas ya explicadas en el juego, Ricardo dio el nombre de «cuenta Stendhal» (nombre sugerido por el famoso título "Rojo y negro" de la novela de Stendhal y supongo que también por la belleza y sorpresa final del proceso asociadas al famoso síndrome). Él había estudiado y deducido el resultado final de la cuenta para cualquier cantidad inicial de cartas (hasta 52), incluso diseñó una completa y elaborada rutina con varios juegos de cartas en los que se utilizaba esta y otras cuentas con cartas. Comparto su opinión de que estas ideas pueden ser muy apropiadas para ayudar en la comprensión y motivar el estudio de los números combinatorios y sus aplicaciones.

  • La historia detrás del juego de los tres colores también es interesante y productiva (puedes encontrar los detalles en el artículo del 13 de mayo de 2013 del blog Wordplay escrito por Gary Antonick y titulado Triangle Mysteries). Descubrimos que el inventor del juego es Steve Humble -más conocido por su pseudónimo DrMaths-, profesor en el Departamento de Educación de la Universidad de Newcastle y prolífico autor de material didáctico para la educación primaria. Tras compartir el juego con Ehrhard Behrends, profesor en el Departamento de Matemáticas e Informática de la Universidad Libre de Berlín y autor de un interesante libro de magia y matemáticas, ambos publicaron los resultados y sus generalizaciones en el volumen 35 (año 2013) de la revista The Mathematical Intelligencer. Allí aparece la siguiente foto en la que se ve a Steve Humble supervisando el juego ante un grupo de escolares:

    Posteriormente, Yutaka Nishiyama, profesor de matemáticas en la Universidad de Economía de Osaka, trató el mismo juego en el artículo The three-color triangle problem (en el que se cuela una errata al considerar que operación correspondiente a las reglas de formación de los colores tiene estructura de grupo abeliano). En su artículo relaciona el problema y su solución con el triángulo de Sierpinski, estructura fractal que aparece en la representación binaria del triángulo de Pascal. En este enlace de Youtube, Nishiyama publica una versión animada del proceso. Es fácil encontrar en internet otras adaptaciones y estudios sobre este interesante juego.

  • Muchas preguntas surgen al querer comprender en profundidad el fundamento del juego de los colores. Me limitaré a plantear tres de ellas:

    1. ¿Qué pasa si modificamos las reglas de formación del triángulo de colores? Lo más natural -matemáticamente hablando- sería que, al simbolizar cada color con un número, digamos como antes 0 = azul, 1 = rojo, 2 = verde, aplicáramos la aritmética usual, es decir, azul + azul = azul, rojo + rojo = verde, verde + verde = rojo, azul + rojo = rojo, azul + verde = verde, rojo + verde = azul. Esta situación corresponde precisamente al comportamiento del triángulo de Pascal en base tres, de modo que el número de filas necesarias para que las cartulinas de los extremos sean las únicas que proporcionan la solución será la que contenga todo ceros (salvo los dos unos de los extremos). Observando la imagen adjunta, llegamos a la misma conclusión: si se empieza con una fila formada por 3n + 1 cartulinas, la suma de los valores correspondientes a los colores de las esquinas da como resultado el valor correspondiente al color de la última cartulina colocada.

    2. ¿Qué podemos decir si utilizamos cartulinas de cuatro colores y aplicamos alguna regla adecuada? Dejo la cuestión en el aire.

    3. ¿Se pueden obtener propiedades similares para juegos en más dimensiones? Pues sí, el propio Ehrhard Behrends se permitió el lujo de proporcionar nuevas versiones de este juego en espacios de tres o más dimensiones. En lugar de empezar con filas de colores, se puede empezar con cuadrados o triángulos y construir pirámides con reglas similares a las utilizadas en el plano de modo que el color de la cúspide de la pirámide se puede deducir solamente a partir de algunos colores de la base. Los detalles de su trabajo están publicados bajo el título “Pyramid Mysteries” en la revista Mathematical Intelligencer, volumen 36, número 3 (2014), artículo en el que aparece la imagen que encabeza este artículo.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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