53. (Septiembre 2008) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2008
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Lunes 01 de Septiembre de 2008

arcoirisSOBRE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

En esta ocasión, daremos la respuesta al problema planteado en el número anterior de este rincón. Recordaremos el juego de Jesús García sobre adivinación de un número basándose en el sistema de numeración en base factorial. El problema consistía en numerar correctamente las diferentes secciones de la "cartulina clave" para que funcionase el juego. Describimos nuevamente el juego, esta vez incluyendo todos los datos:

  1. Imprime unas cartulinas con las figuras que se muestran a continuación y recórtalas formando cuatro dodecágonos del mismo tamaño. Recorta también las regiones impresas en negro para formar diferentes agujeros en las cartulinas.


    Deja sobre la mesa la primera cartulina, que llamaremos "cartulina clave".
  2. Pide a un espectador que piense un número entre 1 y 24, mientras le entregas las otras tres cartulinas.
  3. El espectador mira la primera cartulina y compara el valor del número pensado con uno de los que aparecen escritos en la cartulina (par o impar). Dejará esta cartulina sobre la mesa, encima de la "cartulina clave", haciendo coincidir la base de ésta con el valor que corresponda a su número.
  4. A continuación realizará la misma operación con las dos cartulinas restantes. Girando adecuadamente cada una de las cartulinas, hará coincidir la base de la "cartulina clave" con el valor que corresponda al número pensado.
  5. Al final, el número pensado por el espectador será el único que se ve a través de los agujeros de las cartulinas.

Explicaremos brevemente la razón de clasificar el contenido de las cartulinas como indican las imágenes. Para ello, debemos escribir los números 1 a 24 en el sistema de numeración factorial. Recordaremos que

NF = an · n! + an-1 · (n-1)! + ... + a1 · 1!,

donde ak ≤ k. De este modo, la representación factorial de los 24 primeros números naturales es:

Decimal Factorial
1
2
3
4
5
6
7
8		 001
010
011
020
021
100
101
110
Decimal Factorial
9
10
11
12
13
14
15
16		 111
120
121
200
201
210
211
220
Decimal Factorial
17
18
19
20
21
22
23
24		 221
300
301
310
311
320
321
1000

Observamos así que los números pares tienen un cero en la última posición de su representación factorial. Por tanto la última cartulina discriminará entre pares e impares.

Los números 1, 6, 7, 12, 13, 18, 19 y 24 tienen un cero en la penúltima posición; los números 2, 3, 8, 9, 14, 15, 20 y 21 tienen un uno en la penúltima posición y los números 4, 5, 10, 11, 16, 17, 22 y 23 tienen un dos en dicha penúltima posición. Por eso distinguimos en la cartulina correspondiente los tres posibles valores.

Los números 1, 2, 3, 4, 5 y 24 tienen un cero en la antepenúltima posición de su representación factorial; los números 6, 7, 8, 9, 10 y 11 tienen un uno en dicha posición; los números 12, 13, 14, 15, 16 y 17 tienen un dos y los números 18, 19, 20, 21, 22 y 23 tienen un tres. Así pues, en la cartulina correspondiente se distinguen los cuatro casos citados.

Por último, el sistema de ventanas y la colocación de los números en la primera cartulina hace que se transforme al sistema decimal el único número cuyas cifras en el sistema factorial cumplen todos los datos.
 
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