En varias ocasiones, dentro de nuestro rincón matemágico, hemos desvelado trucos con los que ganar apuestas en juegos aparentemente equitativos. Y la llegada del verano es propicia para intentarlo una vez más. Suele ser un problema el hecho de que la gente te considere mago porque tiende a sospechar que tratas de engañarle y quieras aprovechar que conoces algunos secretos de los que puedas beneficiarte, si sólo tú conoces la estrategia ganadora. Así que, esta vez, iremos un paso más allá pues lograremos ganar el juego incluso después de haber desvelado y permitido a nuestro oponente utilizar la estrategia ganadora.

El juego que propondremos es una adaptación del conocido juego de NIM. Para quienes el juego no sea tan conocido, daremos unas referencias:

• En la guía titulada "Juegos didácticos" elaborada para el programa "Las matemáticas en las bibliotecas escolares" puedes conocer el origen y las características del juego y sus variantes, así como aprender sus reglas.

• El juego se hizo muy popular gracias a la película "El año pasado en Marienbad" dirigida por Alain Resnais en 1961, reseñada en el rincón de al lado por nuestro colega y amigo Alfonso Población.

• Para familiarizarse con el juego, hay una versión online en el portal juegosdelogica.net. Pero también hay multitud de "apps" para dispositivos móviles y tabletas que encontrarás fácilmente.

La versión de la que nos ocuparemos aquí recibe el nombre de "El juego del 31", como aparece en el libro del matemático británico Henry Dudeney "Los acertijos de Canterbury", publicado por primera vez en 1907 como The Canterbury puzzles. No sólo el título del libro está inspirado en el clásico de la literatura medieval "The Canterbury tales", de Geoffrey Chaucer, escrito a finales del siglo XIV, sino que su contenido también se desarrolla mediante una sucesión de cuentos y relatos en los que se plantean diferentes retos, juegos de lógica y rompecabezas ingeniosos.

De la labor matemática de Henry Dudeney, destacaremos su resolución del célebre "Haberdasher puzzle", problema de disección que plantea cómo recortar un cuadrado en piezas para formar con ellas un triángulo equilátero. Una breve biografía de Henry Dudeney, así como una completa relación de su bibliografía, se puede encontrar en el blog "divulgadores" de Antonio Varela.

En la introducción del juego que nos ocupa, Dudeney afirma:

Durante una época, este juego fue el método favorito de estafa utilizado por los tahúres en los hipódromos y los trenes.

Veamos, en primer lugar, en qué consiste el juego y, posteriormente, estudiaremos las estrategias ganadoras.

Separas de la baraja los cuatro ases, doses, treses, cuatros, cincos y seises. Colocas dichas cartas sobre la mesa, formando seis montones, de modo que cada montón contiene las cuatro cartas del mismo valor.

Propones a un espectador el siguiente juego:

El primer jugador recoge una carta y anuncia su valor. El segundo jugador recoge otra carta y anuncia la suma del valor de su carta con el resultado anterior. Alternativamente, cada jugador recoge una carta y anuncia la suma de los valores de todas las cartas elegidas. Ganará el juego quien pueda escoger una carta que le permita llegar exactamente a 31 o bien consiga obligar a su oponente a que su suma sea mayor que 31.

Veamos un ejemplo: el primer jugador saca un tres, el segundo saca un cinco y nombra en voz alta la suma 8; el primer jugador saca un cuatro y anuncia la suma 12; el segundo jugador saca un dos y anuncia la suma 14; el primer jugador saca un seis y anuncia la suma 20; el segundo jugador saca un cuatro y nombra 24; el primer jugador saca ahora un as y nombra 25; por último el segundo jugador saca un seis y nombra 31, de modo que es el ganador.

3	8	12	14	20	24	25	31

Como ocurre con la mayoría de estos juegos, la primera pregunta que debemos hacer es la siguiente:

- ¿Es mejor ser el primero en jugar o dejar que juegue primero nuestro oponente?

Un sencillo análisis del juego nos lleva a concluir que, si el jugador A alcanza el número 24, ganará el juego: el jugador B no podrá llegar a 31 en la siguiente jugada pero el jugador A llegará a 31 si juega una carta cuyo valor sea la diferencia entre 7 y el valor de la carta jugada por B.

El mismo razonamiento indica que el jugador A ganará si alcanza el número 17, pero también si alcanza el número 10 (porque la siguiente jugada será otra vez la diferencia entre 7 y el valor jugado por B).

En definitiva, el jugador A ganará el juego si empieza con una carta de valor 3. Si empieza su oponente pero no conoce el secreto, todavía podrá ganar si alcanza alguno de los valores 10, 17, 24 ó 31.

Ahora viene la segunda parte del juego. Pero no lo vamos a explicar aquí sino que será nuestra propuesta para un nuevo concurso de verano. Te propongo una serie de cuestiones y, si logras resolverlas, envía tus soluciones a Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla . Como es tradicional, entre las respuestas más completas e ingeniosas, seleccionaremos los ganadores del concurso, a quienes el portal DivulgaMat les obsequiará con un libro de divulgación matemática.

- Primera cuestión: el mago explica al espectador la estrategia ganadora y, como muestra de cortesía, le deja jugar otra partida. Si ha entendido el juego, el espectador será quien juegue primero. ¿Qué tiene que hacer el mago para ganar la partida?

- Segunda cuestión: el mago vuelve a explicar al espectador porqué ha perdido de nuevo. Así que, haciendo gala de gran generosidad, le propone una nueva revancha. El espectador ahora elegirá ser segundo jugador. ¿Cuál es la nueva estrategia que utilizará el mago para volver a ganar?

- Tercera cuestión: ¿pueden plantearse otras versiones del juego, con las mismas características que tiene el juego del 31, con distintos valores de la suma final y otros conjuntos diferentes de cartas?

Si eres capaz de resolver la primera cuestión, no dejes pasar la oportunidad de jugar con tus allegados. Es tan ingenioso que nadie se molestará por haber perdido las apuestas.

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